Graded algebra
Consideriamo lo spazio \(A_{k}V\) delle funzioni \(k\)-lineari alternate definite su uno spazio vettoriale \(V\). Non capisco bene come il wedge product definisca una graded algebra con queste funzioni. Cioè:
\begin{split}
f& \in A_{k}V \\
g& \in A_{l}V \\
\wedge: A_{k}V\times A_{l}V&\rightarrow A_{l+k}V \\
(f,g)&\rightarrow f\wedge g
\end{split}
An algebra \(A\) over a field \(\mathbb{K}\) is said to be graded if \(A=\bigoplus_{k}A^{k}\) such that for the multiplication \(\mu\) defined on \(A\)
\[
\mu:A^{k}\times A^{l}\rightarrow A^{k+l}
\]
Potrei scrivere
\begin{split}
f& \in A_{k}V \\
g& \in A_{l}V \\
h& \in A_{m}V \\
\wedge: A_{k}V\times A_{l}V\times A_{m}V&\rightarrow A_{l+k+m}V \\
(f,g,h)&\rightarrow f\wedge g\wedge h
\end{split}
Ma ancora non mi spiego gli indici \(k,l\) nella definizione di graded algebra, cioè, come applico la definizione su \(A_{l+k+m}V=A_{k}V\oplus A_{l}V\oplus A_{m}V\) ad esempio?
\begin{split}
f& \in A_{k}V \\
g& \in A_{l}V \\
\wedge: A_{k}V\times A_{l}V&\rightarrow A_{l+k}V \\
(f,g)&\rightarrow f\wedge g
\end{split}
An algebra \(A\) over a field \(\mathbb{K}\) is said to be graded if \(A=\bigoplus_{k}A^{k}\) such that for the multiplication \(\mu\) defined on \(A\)
\[
\mu:A^{k}\times A^{l}\rightarrow A^{k+l}
\]
Potrei scrivere
\begin{split}
f& \in A_{k}V \\
g& \in A_{l}V \\
h& \in A_{m}V \\
\wedge: A_{k}V\times A_{l}V\times A_{m}V&\rightarrow A_{l+k+m}V \\
(f,g,h)&\rightarrow f\wedge g\wedge h
\end{split}
Ma ancora non mi spiego gli indici \(k,l\) nella definizione di graded algebra, cioè, come applico la definizione su \(A_{l+k+m}V=A_{k}V\oplus A_{l}V\oplus A_{m}V\) ad esempio?
Risposte
Un algebra graduata è un algebra in cui ogni elemento può essere decomposto in modo unico come somma di elementi di particolari insiemi \(A_i\) parametrizzati da un intero. La moltiplicazione interna, essendo distributiva, è definita dai prodotti di elementi appartenenti agli insiemi in cui è decomposta l'algebra. Per essere graduata si richiede quindi che il prodotto di un elemento di $A_i$ con uno di $A_j$ sia un elemento di $A_{i+j}$. L'esempio classico sono i polinomi.
Posso dire ad esempio per \(A_{k}\)(=\(A_{k}V\)) e \(A_{l}\) che \(A_{k+l}=A_{k}\times A_{l}=A_{k}\oplus A_{l}\) in quanto \(A_{k}\subseteq A_{k+l}\) se considero \(A_{k}=(A_{k},0)\) e così anche per \(A_{l}\)?
"5mrkv":
Posso dire ad esempio per \(A_{k}\)(=\(A_{k}V\)) e \(A_{l}\) che \(A_{k+l}=A_{k}\times A_{l}=A_{k}\oplus A_{l}\) in quanto \(A_{k}\subseteq A_{k+l}\) se considero \(A_{k}=(A_{k},0)\) e così anche per \(A_{l}\)?
Non penso di comprendere i tuoi passaggi... \(\displaystyle A_{k+l}\neq A_k \oplus A_l \)... prova a pensare ai polinomi e alla decomposizione in polinomi omogenei...
Con \(A_{k}\) intendo le applicazioni alternate \(k\)-lineari su uno spazio vettoriale e con \(A_{k+l}\) intendo il prodotto cartesiano di due spazi di questo tipo.
Se considero \(A_{k+l}\) posso scrivere un suo elemento \((f,g)\in A_{k+l}\) come composto da \(f=(f,0)\in A_{k}\subseteq A_{k+l}\) e \(g=(0,g)\in A_{l}\subseteq A_{k+l}\) e la moltiplicazione \(\mu\) definita nell'algebra (il wedge) è tale che \(\mu(f,g)\in A_{k+l}\).
Questa parte che non capisco si trova quì link.
Se considero \(A_{k+l}\) posso scrivere un suo elemento \((f,g)\in A_{k+l}\) come composto da \(f=(f,0)\in A_{k}\subseteq A_{k+l}\) e \(g=(0,g)\in A_{l}\subseteq A_{k+l}\) e la moltiplicazione \(\mu\) definita nell'algebra (il wedge) è tale che \(\mu(f,g)\in A_{k+l}\).
Questa parte che non capisco si trova quì link.
In un algebra graduata i vari spazi vettoriali sono disgiunti, è la loro somma diretta. Non c'é una reale nozione di inclusione.
Per esempio \(\displaystyle \mathcal{A} = \bigoplus A_i \) con \(\displaystyle A_i \cong \mathbb{R} \) per ogni \(\displaystyle i \) è una algebra graduata se si definisce il prodotto come \(\displaystyle \alpha\mathbf{e}_i\cdot\beta\mathbf{e}_j = \alpha\beta\mathbf{e}_{i+j}\) (questa è di fatto l'algebra graduata dei polinomi in una variabile). Capisci che non vi è alcuna nozione di inclusione di \(\displaystyle A_i \) in \(\displaystyle A_{i+j} \)
Per esempio \(\displaystyle \mathcal{A} = \bigoplus A_i \) con \(\displaystyle A_i \cong \mathbb{R} \) per ogni \(\displaystyle i \) è una algebra graduata se si definisce il prodotto come \(\displaystyle \alpha\mathbf{e}_i\cdot\beta\mathbf{e}_j = \alpha\beta\mathbf{e}_{i+j}\) (questa è di fatto l'algebra graduata dei polinomi in una variabile). Capisci che non vi è alcuna nozione di inclusione di \(\displaystyle A_i \) in \(\displaystyle A_{i+j} \)
Ma allora come faccio a verificare che \(A_{*}=\bigoplus_{k=0}^{n}A_{k}\) è un'algebra graduata? Eppure dovrebbe essere una cosa banale dato che non la spiega. Non capisco neppure la formula che definisce \(A_{*}\) perché il pedice si confonde con la definizione precedente di \(A_{k}\) quindi non riesco ad applicare la definizione di algebra graduata per fare una verifica. Tu riusciresti a mostrarmelo? Perché mi sembra di annegare in un bicchiere d'acqua.
Lo è per definizione. La famiglia di sottospazi graduati è data da \( A_k\,V \) mentre la moltiplicazione è \( \wedge \colon A_k\,V \times A_k\,V \to A_{k+l}\,V. \) L'algebra graduata è ovviamente \( A = \bigoplus_{k \ge 0} A_k\,V. \)
"apatriarca":
Lo è per definizione. La famiglia di sottospazi graduati è data da \( A_k\,V \) mentre la moltiplicazione è \( \wedge \colon A_k\,V \times A_k\,V \to A_{k+l}\,V. \) L'algebra graduata è ovviamente \( A = \bigoplus_{k \ge 0} A_k\,V. \)
Ok, vediamo se ho capito. Provo con \(n=3\)
\[
A_{*} = \bigoplus_{k =0}^{3} A_k=A_{1}\oplus A_{2}\oplus A_{3}
\]
Il wedge manda \(A_{k}\times A_{l}\rightarrow A_{k+l}\) per \(k,l=1,2,3\), e questo come dici tu mi basta per definizione. Che cosa è effettivamente \(A_{*}\)? Se pongo ad esempio \(n=2\) mi ritrovo \(A_{1}\oplus A_{2}\) e considerano \(g \in A_{1},f \in A_{2},h \in A_{*}\) allora \(h=f+g\)?
(Se è così allora la risposta ad una delle mie domande è che nel caso di \(A_{*}\) i pedici si confondono con gli indici della definizione di algebra graduata \(A^{i}=A_{i}\), giusto per chiarire uno dei dubbi che avevo.)
Un elemento di \( A_* \) è una somma finita di funzioni multilineari alternate definite su un qualche spazio lineare \( V \) fissato.
Ok, grazie ad entrambi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo