GLn(K) e trasvezioni
Salve a tutti..
volevo chiedere una spiegazione/dimostrazione.
Se qualcuno di voi dovesse spiegare il perchè del fatto che l'insieme delle travezioni (matrici quadrate del tipo $T_{ij}(a)=I_{n} + a\cdot E_{ij}$, cioè che sommano una riga (od una colonna) ad un'altra moltiplicata per $a$, con $a \in \mathbb{K}$ campo ) e delle matrici diagonali con tutti $1$ tranne che l'elemento di posto $n,n$ in cui c'è un altro qualsiasi elemento del campo, sono un'insieme di generatori del gruppo $GL_n(\mathbb{K})$ , come farebbe?
Cioè, devo praticamente dimostrare nel caso generale che vale che sono generatori (ci posso riuscire), ma soprattutto che l'elemento di posto $n,n$ è PROPRIO il determinante della matrice!!Come posso fare?
Grazieee!! ho provato utilizzando alcune formule del determinante ma non ci scappo...e non ho altre idee, contando che a mano è impossibile se non per dimensioni piccole(almeno per me).
volevo chiedere una spiegazione/dimostrazione.
Se qualcuno di voi dovesse spiegare il perchè del fatto che l'insieme delle travezioni (matrici quadrate del tipo $T_{ij}(a)=I_{n} + a\cdot E_{ij}$, cioè che sommano una riga (od una colonna) ad un'altra moltiplicata per $a$, con $a \in \mathbb{K}$ campo ) e delle matrici diagonali con tutti $1$ tranne che l'elemento di posto $n,n$ in cui c'è un altro qualsiasi elemento del campo, sono un'insieme di generatori del gruppo $GL_n(\mathbb{K})$ , come farebbe?
Cioè, devo praticamente dimostrare nel caso generale che vale che sono generatori (ci posso riuscire), ma soprattutto che l'elemento di posto $n,n$ è PROPRIO il determinante della matrice!!Come posso fare?
Grazieee!! ho provato utilizzando alcune formule del determinante ma non ci scappo...e non ho altre idee, contando che a mano è impossibile se non per dimensioni piccole(almeno per me).
Risposte
Dato [tex]A \in GL_n(K)[/tex] chiama [tex]B[/tex] la matrice diagonale invertibile che ha tutti 1 sulla diagonale meno al posto [tex](n,n)[/tex] e che ha [tex]\det(A)[/tex] al posto [tex](n,n)[/tex]. Allora [tex]\det(AB^{-1})=\det(A) \det(B)^{-1} = \det(A) \det(A)^{-1} = 1[/tex] e quindi [tex]AB^{-1} \in SL_n(K)[/tex]. In altre parole ogni elemento [tex]A[/tex] di [tex]GL_n(K)[/tex] si può scrivere come [tex](AB^{-1}) B[/tex], prodotto di un elemento di [tex]SL_n(K)[/tex] e una matrice diagonale del tipo che hai detto.
Morale, sei ridotta a mostrare che i [tex]T_{ij}(a)[/tex], [tex]i \neq j[/tex], generano [tex]SL_n(K)[/tex]. Questo dovrebbe rispondere al tuo dubbio.
Morale, sei ridotta a mostrare che i [tex]T_{ij}(a)[/tex], [tex]i \neq j[/tex], generano [tex]SL_n(K)[/tex]. Questo dovrebbe rispondere al tuo dubbio.
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