Gli spazi metrici sono primo-numerabili
Premetto la definizione di sistema fondamentale di intorni che ho: un sistema fondamentale di intorni di un punto $x \in (X, \tau)$ spazio topologico e' un insieme $U(x)$ di intorni di $x$ tale che $\forall U \in U(x), \exists V \in U(x)$ si ha $V \sub U$.
Con intorno di un punto intendo un sottoinsieme dello spazio contenente un aperto che contiene il punto. Osservo anche che la definizione di sistema fondamentale di intorni che ho e' equivalente e a quella di sistema fondamentale di intorni aperti.
Come definizione di spazio primo-numerabile ho semplicemente la richiesta che ogni punto dello spazio abbia un sistema fondamentale di intorni numerabile (solo numerabile, non numerabile o finito)
Nelle mie dispense c'e' una sbrigativa osservazione che dice ogni spazio metrico $(X, d)$ e' primo-numerabile poiché basta considerare $\forall x \in X$ le bolle $B_q(x) \forall q \in QQ$. All'inizio la cosa mi e' parsa abbastanza ovvia pensando alle solite $p$-metriche in $RR^n$ ma poi pensando a cosa significasse questa implicazione relativamente alla metrica discreta ho avuto dei problemi. Non sto dicendo che uno spazio dotato di metrica discreta non sia primo-numerabile (anzi lo e', anche se non sono riuscito a mostrarlo per ogni insieme). Quello che non mi torna e' l'argomento usato nelle mie dispense, che mi pare non funzionare per la metrica discreta; le palle aperte centrate in $x$ sono solo ${x}$ e $X$, o sbaglio? Come possono essere in biezione con $NN$?
Con intorno di un punto intendo un sottoinsieme dello spazio contenente un aperto che contiene il punto. Osservo anche che la definizione di sistema fondamentale di intorni che ho e' equivalente e a quella di sistema fondamentale di intorni aperti.
Come definizione di spazio primo-numerabile ho semplicemente la richiesta che ogni punto dello spazio abbia un sistema fondamentale di intorni numerabile (solo numerabile, non numerabile o finito)
Nelle mie dispense c'e' una sbrigativa osservazione che dice ogni spazio metrico $(X, d)$ e' primo-numerabile poiché basta considerare $\forall x \in X$ le bolle $B_q(x) \forall q \in QQ$. All'inizio la cosa mi e' parsa abbastanza ovvia pensando alle solite $p$-metriche in $RR^n$ ma poi pensando a cosa significasse questa implicazione relativamente alla metrica discreta ho avuto dei problemi. Non sto dicendo che uno spazio dotato di metrica discreta non sia primo-numerabile (anzi lo e', anche se non sono riuscito a mostrarlo per ogni insieme). Quello che non mi torna e' l'argomento usato nelle mie dispense, che mi pare non funzionare per la metrica discreta; le palle aperte centrate in $x$ sono solo ${x}$ e $X$, o sbaglio? Come possono essere in biezione con $NN$?
Risposte
In realtà la definizione universalmente usata di spazi uno numerabili richiede per ogni punto un sistema fondamentale di intorni al più numerabili, perché sennò non è nemmeno vero che gli spazi metrici sono uno numerabili.
"zariski":Spesso, in italiano, per "numerabile" si intende "numerabile o finito". In inglese si dice "countable", che rende meglio l'idea:
Come definizione di spazio primo-numerabile ho semplicemente la richiesta che ogni punto dello spazio abbia un sistema fondamentale di intorni numerabile (solo numerabile, non numerabile o finito)
https://en.wikipedia.org/wiki/Countable_set
Quello che non mi torna e' l'argomento usato nelle mie dispense, che mi pare non funzionare per la metrica discreta; le palle aperte centrate in $x$ sono solo ${x}$ e $X$, o sbaglio? Come possono essere in biezione con $NN$?
Un sistema fondamentale di intorni è \(\{x\}\). Vedi osservazione precedente.
Meno male, grazie mille a entrambi! Purtroppo la mia definizione di numerabile e' sempre stata quella di "infinito numerabile" ma ora e' tutto chiaro.
In realta' mi era venuto il dubbio che fosse cosi' ma leggendo https://it.wikiversity.org/wiki/Intorni_e_assiomi_di_numerabilit%C3%A0 (dove viene proprio chiesto $|I(x)|=|NN|$ erroneamente a questo punto) avevo pensato che dovesse essere un altro l'errore.
A questo punto mi sta venendo un altro dubbio pero': per mostrare che uno spazio metrico e' primo-numerabile non posso semplicemente dire che $\forall x \in X$ si ha che ${B_r(x)}$ con $r>0$ qualsiasi e' un sistema fondamentale di intorni di $x$ numerabile (finito in questo caso)?
Questo ragionamento e' sbagliato perche' ragionando cosi' potrei dire che qualsiasi spazio topologico e' primo-numerabile; basterebbe prendere ${X}$ come sistema fondamentale di qualsiasi punto di $X$.
In realta' mi era venuto il dubbio che fosse cosi' ma leggendo https://it.wikiversity.org/wiki/Intorni_e_assiomi_di_numerabilit%C3%A0 (dove viene proprio chiesto $|I(x)|=|NN|$ erroneamente a questo punto) avevo pensato che dovesse essere un altro l'errore.
A questo punto mi sta venendo un altro dubbio pero': per mostrare che uno spazio metrico e' primo-numerabile non posso semplicemente dire che $\forall x \in X$ si ha che ${B_r(x)}$ con $r>0$ qualsiasi e' un sistema fondamentale di intorni di $x$ numerabile (finito in questo caso)?
Questo ragionamento e' sbagliato perche' ragionando cosi' potrei dire che qualsiasi spazio topologico e' primo-numerabile; basterebbe prendere ${X}$ come sistema fondamentale di qualsiasi punto di $X$.
Infatti è sbagliato. Hai trovato tu l'errore.
Edit: avevo scritto una lunga risposta in cui chiedevo una cosa che non mi tornava ma mi sono risposto da solo poco dopo. Semplicemente avevo capito male quale fosse la definizione di sistema fondamentale di intorni, ora mi torna tutto finalmente.
Per completezza faccio notare l'errore nel mio primo messaggio:
Va corretta in:
Un sistema fondamentale di intorni di un punto $x \in (X, \tau)$ spazio topologico e' un insieme $U(x)$ di intorni di $x$ tale che $\forall U$ intorno di $X$ (non $\forall U \in U(x)$!), $\exists V \in U(x)$ tale che $V \sub U$.
Grazie mille ancora.
Per completezza faccio notare l'errore nel mio primo messaggio:
"zariski":
un sistema fondamentale di intorni di un punto $x \in (X, \tau)$ spazio topologico e' un insieme $U(x)$ di intorni di $x$ tale che $\forall U \in U(x), \exists V \in U(x)$ si ha $V \sub U$.
Va corretta in:
Un sistema fondamentale di intorni di un punto $x \in (X, \tau)$ spazio topologico e' un insieme $U(x)$ di intorni di $x$ tale che $\forall U$ intorno di $X$ (non $\forall U \in U(x)$!), $\exists V \in U(x)$ tale che $V \sub U$.
Grazie mille ancora.
Perché pensi che ${B_r(x)}$ sia finito? E perché questo dovrebbe implicare che tutti gli spazi topologici sono primo numerabili?
Non ti preoccupare, ora e' tutto a posto.
Forse tu hai risposto alla mia precedente domanda, prima che la modificassi.
Con ${B_r(x)}$ intendevo il singoletto contenente solo una bolla di raggio qualsiasi $r \in RR$ e stando alla definizione errata che avevo capito (che ho scritto nel mio messaggio precedente) esso risultava un sistema fondamentale di intorni.
Forse tu hai risposto alla mia precedente domanda, prima che la modificassi.
Con ${B_r(x)}$ intendevo il singoletto contenente solo una bolla di raggio qualsiasi $r \in RR$ e stando alla definizione errata che avevo capito (che ho scritto nel mio messaggio precedente) esso risultava un sistema fondamentale di intorni.
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