$GL_n(RR)$ gruppo di Lie
Come dimostro che è un gruppo di Lie?
già a me viene difficile immaginarlo con una topologia... figuriamoci una varietà differenziabile...
sarà che non ci sono come ordine di idee...
qualche input?
già a me viene difficile immaginarlo con una topologia... figuriamoci una varietà differenziabile...
sarà che non ci sono come ordine di idee...
qualche input?
Risposte
In realtà, è molto semplice.
Puoi munire [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex] (l'insieme delle matrici quadrate reali di ordine [tex]n[/tex]) di una struttura di varietà differenziabile di dimensione [tex]n^2[/tex], perché [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex] è uno spazio vettoriale reale di dimensione [tex]n^2[/tex].
Naturalmente [tex]GL_n(\mathbb{R})\subset M_n(\mathbb{R})[/tex] e quindi ha la topologia indotta da [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex].
Osservi che [tex]GL_n(\mathbb{R})[/tex] è un aperto di [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex] perché immagine reciproca mediante [tex]\det:M_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}[/tex] dell'aperto [tex]\mathbb{R}^*[/tex].
Resta definita così la struttura differenziabile su [tex]GL_n(\mathbb{R})[/tex]: è quella di sottovarietà aperta di [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex].
Ah, poi devi mostrare che la moltiplicazione in [tex]Gl_n(\mathbb{R})[/tex] e l'applicazione [tex]A\mapsto A^{-1}[/tex] sono differenziabili...
Puoi munire [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex] (l'insieme delle matrici quadrate reali di ordine [tex]n[/tex]) di una struttura di varietà differenziabile di dimensione [tex]n^2[/tex], perché [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex] è uno spazio vettoriale reale di dimensione [tex]n^2[/tex].
Naturalmente [tex]GL_n(\mathbb{R})\subset M_n(\mathbb{R})[/tex] e quindi ha la topologia indotta da [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex].
Osservi che [tex]GL_n(\mathbb{R})[/tex] è un aperto di [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex] perché immagine reciproca mediante [tex]\det:M_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}[/tex] dell'aperto [tex]\mathbb{R}^*[/tex].
Resta definita così la struttura differenziabile su [tex]GL_n(\mathbb{R})[/tex]: è quella di sottovarietà aperta di [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex].
Ah, poi devi mostrare che la moltiplicazione in [tex]Gl_n(\mathbb{R})[/tex] e l'applicazione [tex]A\mapsto A^{-1}[/tex] sono differenziabili...
ecco i miei dubbi:
_Perchè uno spazio vettoriale è una varietà differenziabile?
_Quali sono gli aperti di $M_N(RR)$?
Come si rappresenta un intorno di una matrice?
_Perchè il $det$ è un funzione continua?
(forse perchè il determinante è una combinazione lineare?)
_Perchè uno spazio vettoriale è una varietà differenziabile?
_Quali sono gli aperti di $M_N(RR)$?
Come si rappresenta un intorno di una matrice?
_Perchè il $det$ è un funzione continua?
(forse perchè il determinante è una combinazione lineare?)
Si tratta di domande di base. Credo che in qualsiasi corso di geometria differenziale (per la prima domanda) e di topologia (per le altre due) se ne ne parli.
Comunque, ecco le risposte:
1) Sia [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale reale di dimensione [tex]k[/tex]. Fissata una base [tex]e_1,\dots,e_k[/tex] è definito un isomorfismo [tex]L:V\to\mathbb{R}^k[/tex].
Si assegna a [tex]V[/tex] l'unica topologia [tex]\mathfrak{A}[/tex] che rende [tex]L[/tex] un omeomorfismo.
Si definisce [tex]\mathcal{A}=\{(V,L)\}[/tex] (è ovviamente un atlante). La struttura differenziabile su [tex]V[/tex] è definita mediante la topologia [tex]\mathfrak{A}[/tex] e l'atlante [tex]\mathcal{A}[/tex].
Si dimostra che la struttura differenziabile su [tex]V[/tex] non dipende dalla scelta della base di [tex]V[/tex] inizialmente fissata.
2) Gli aperti di [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex] sono le controimmagini mediante l'isomorfismo canonico [tex]$ L:M_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{n^2}[/tex] (ottenuto fissando la base canonica di [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex]) di aperti di [tex]\mathbb{R}^{n^2}[/tex].
3) Sì, in sostanza il determinante è una combinazione lineare e per questo è continua.
Per stabilire formalmente che [tex]\det[/tex] è continua si fa così: considero l'isomorfismo canonico [tex]L[/tex] del punto 2). Compongo con [tex]\det[/tex] ottenendo
[tex]\det\circ L^{-1}:&\mathbb{R}^{n^2}\to\mathbb{R}[/tex] che agisce nel seguente modo
[tex]A=(a^i_j)\mapsto \sum_{\sigma\in S_n}\varepsilon(\sigma)a^1_{\sigma(1)}\dots a^n_{\sigma(n)}[/tex].
Le topologie negli insiemi di partenza e di arrivo sono quelle canoniche. Quindi, data la sua espressione esplicita, [tex]\det\circ L^{-1}[/tex] è continua.
Componendo a destra con [tex]L[/tex] (che è continua, in quanto omeomorfismo), si ottiene che anche [tex]\det[/tex] è continua.
Comunque, ecco le risposte:
1) Sia [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale reale di dimensione [tex]k[/tex]. Fissata una base [tex]e_1,\dots,e_k[/tex] è definito un isomorfismo [tex]L:V\to\mathbb{R}^k[/tex].
Si assegna a [tex]V[/tex] l'unica topologia [tex]\mathfrak{A}[/tex] che rende [tex]L[/tex] un omeomorfismo.
Si definisce [tex]\mathcal{A}=\{(V,L)\}[/tex] (è ovviamente un atlante). La struttura differenziabile su [tex]V[/tex] è definita mediante la topologia [tex]\mathfrak{A}[/tex] e l'atlante [tex]\mathcal{A}[/tex].
Si dimostra che la struttura differenziabile su [tex]V[/tex] non dipende dalla scelta della base di [tex]V[/tex] inizialmente fissata.
2) Gli aperti di [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex] sono le controimmagini mediante l'isomorfismo canonico [tex]$ L:M_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{n^2}[/tex] (ottenuto fissando la base canonica di [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex]) di aperti di [tex]\mathbb{R}^{n^2}[/tex].
3) Sì, in sostanza il determinante è una combinazione lineare e per questo è continua.
Per stabilire formalmente che [tex]\det[/tex] è continua si fa così: considero l'isomorfismo canonico [tex]L[/tex] del punto 2). Compongo con [tex]\det[/tex] ottenendo
[tex]\det\circ L^{-1}:&\mathbb{R}^{n^2}\to\mathbb{R}[/tex] che agisce nel seguente modo
[tex]A=(a^i_j)\mapsto \sum_{\sigma\in S_n}\varepsilon(\sigma)a^1_{\sigma(1)}\dots a^n_{\sigma(n)}[/tex].
Le topologie negli insiemi di partenza e di arrivo sono quelle canoniche. Quindi, data la sua espressione esplicita, [tex]\det\circ L^{-1}[/tex] è continua.
Componendo a destra con [tex]L[/tex] (che è continua, in quanto omeomorfismo), si ottiene che anche [tex]\det[/tex] è continua.
Ok grazie.
Si, alla seconda forse potevo arrivarci, ma mi faceva strano pensare a $M_n(RR)$ come a uno spazio topoligico. L'intuizione geometrica per un intorno di una matrice è possibile o ci devo rinunciare?
Il problema è che sto facendo questo argomenti in IFM senza aver mai fatto un corso di geometria differenziale.
Per la prima risposta:
Ho dei problemi:
_Si parla sempre di isomorfismo ma non dice mai di cosa, sarà sottointeso ma mi confonde, un isomorfismo di spazi vettoriali non è la stessa cosa di un isomorfismo di uno spazio topologico, nel primo ad esempio non c'è il concetto di continuità. Perchè un isomorfismo tra spazi vettoriali induce sempre una topologia che lo rende un omeomorfismo?
_$L$ abbiamo detto che è un omeomorfismo, quindi continua, ma non è detto che sia differenziabile per cui come facciamo a dire che $A$ così definito è un atlante?
Si, alla seconda forse potevo arrivarci, ma mi faceva strano pensare a $M_n(RR)$ come a uno spazio topoligico. L'intuizione geometrica per un intorno di una matrice è possibile o ci devo rinunciare?
Il problema è che sto facendo questo argomenti in IFM senza aver mai fatto un corso di geometria differenziale.
Per la prima risposta:
Ho dei problemi:
_Si parla sempre di isomorfismo ma non dice mai di cosa, sarà sottointeso ma mi confonde, un isomorfismo di spazi vettoriali non è la stessa cosa di un isomorfismo di uno spazio topologico, nel primo ad esempio non c'è il concetto di continuità. Perchè un isomorfismo tra spazi vettoriali induce sempre una topologia che lo rende un omeomorfismo?
_$L$ abbiamo detto che è un omeomorfismo, quindi continua, ma non è detto che sia differenziabile per cui come facciamo a dire che $A$ così definito è un atlante?
"nato_pigro":
Ok grazie.
Si, alla seconda forse potevo arrivarci, ma mi faceva strano pensare a $M_n(RR)$ come a uno spazio topoligico. L'intuizione geometrica per un intorno di una matrice è possibile o ci devo rinunciare?
No, non devi rinunciarci. Se hai la topologia su $M_n(RR)$, puoi parlare di intorno d un suo elemento come in un qualsiasi spazio topologico.
Si può parlare di intorno di una matrice senza problemi
"nato_pigro":In realtà non serve il fatto che sia isomorfismo di spazi vettoriali, basta la bigettività della funzione. Mi spiego meglio.
Per la prima risposta:
_ ... Perchè un isomorfismo tra spazi vettoriali induce sempre una topologia che lo rende un omeomorfismo?
Supponiamo di avere uno spazio topologico $S$ e una funzione bigettiva $f:X\to S$, dove $X$ è semplicemente un insieme.
Si può dimostrare (se ti va, prova a farlo, non dovrebbe essere impossibile) che esiste un'unica topologia su $X$ che rende $f$ un omeomorfismo.
L'insieme degli aperti su $X$ è l'insieme delle controimmagini di aperti di $S$, cioè se $A\subset X$, si ha che $A$ è un aperto di $X$ se e solo se $f(A)$ è un aperto in $S$.
Nel nostro caso hai l'isomorfismo $L:M_n(RR)\to RR^{n^2}$ di spazi vettoriali (che, in particolare, è un'applicazione bigettiva) e lo spazio topologico $RR^{n^2}$ (con la sua topologia naturale) e puoi costruire l'unica topologia su $M_n(RR)$ che rende $L$ un omeomorfismo.
"nato_pigro":Qui devi solo ricordare cos'è un atlante. Dato uno spazio topologico $M$ (di Haussdorf, alcuni richiedono anche paracompatto) un atlante è una famiglia $A={(U_i,phi_i)}_i$ che verifica le seguenti proprietà:
_$L$ abbiamo detto che è un omeomorfismo, quindi continua, ma non è detto che sia differenziabile per cui come facciamo a dire che $A$ così definito è un atlante?
1) l'insieme degli $U_i$ forma un ricoprimento aperto di $M$;
2) per ogni $i$ $phi_i:U_i\to \phi_i(U_i)\subset RR^k$ è un omeomorfismo (osserva che non si può parlare di differenziabilità, $U_i$ è un aperto di uno spazio topologico qualsiasi!);
3) se $i,j$ sono tali che $U_i\cap U_j!=\emptyset$, allora $\phi_j\circ\phi_i^{-1}:\phi_i(U_i\cap U_j)\to\phi_j(U_i\cap U_j)$ è differenziabile (e ora si può parlare di differenziabilità, perché l'applicazione è definita fra aperti di $RR^k$ su cui è definita la differenziabilità).
[Le coppie $(U_i,\phi_i)$ prendono il nome di carte locali]
Nel tuo caso, hai una sola carta che è $(M_n(RR),L)$ con $L:M_n(RR)\to RR^{n^2}$. La famiglia $A={(M_n(RR),L)}$ con una sola carta è un atlante (provare per credere
)Spero di essere stato chiaro, se hai problemi chiedi pure.
Ah, un'ultima cosa. Una curiosità: che significa "IFM"? Non l'ho mai sentita 'sta sigla...
fantastico. Sei chiarissimo come al solito. Grazie.
La priposizione riguardante la bigettività e la topologia che resta definita mi mancava proprio.
Quindi $A$ verifica il punto 3) perchè l'identità è differenziabile... bene. Credo di aver capito
IFM sta per istituzioni di fisica matematica, credevo fosse un sigla usata anche al di fuori della mia università..
La priposizione riguardante la bigettività e la topologia che resta definita mi mancava proprio.
Quindi $A$ verifica il punto 3) perchè l'identità è differenziabile... bene. Credo di aver capito
IFM sta per istituzioni di fisica matematica, credevo fosse un sigla usata anche al di fuori della mia università..
Prego 
Da noi ci sono due esami di fisica matematica che si chiamano appunto Fisica Matematica 1 e 2, più altri a scelta che non ho seguito e di cui ignoro i nomi.
Quella sigla mi era nuova
Ciao, alla prossima!
Da noi ci sono due esami di fisica matematica che si chiamano appunto Fisica Matematica 1 e 2, più altri a scelta che non ho seguito e di cui ignoro i nomi.
Quella sigla mi era nuova
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