[Geometria]Determinare piano
Fissato un riferimento cartesiano si considerino le rette:
$r:{y-1=0;2x+z-1=0$
e
$s:{x-y=0;2y +z -1=0$
Determinare, se esiste, un piano contenete r e s.
Io stavo pensando di impostare un sistema con queste due equazioni:
$Alfa: h(y-1)+k(2x+z-1)=0$
$Beta: h(x-y)+k(2y+z-1)=0$
Ma poi non so come andare avanti >_<
Qualcuno potrebbe dirmi come va risolto questo quesito?
Grazie anticipatamente.
$r:{y-1=0;2x+z-1=0$
e
$s:{x-y=0;2y +z -1=0$
Determinare, se esiste, un piano contenete r e s.
Io stavo pensando di impostare un sistema con queste due equazioni:
$Alfa: h(y-1)+k(2x+z-1)=0$
$Beta: h(x-y)+k(2y+z-1)=0$
Ma poi non so come andare avanti >_<
Qualcuno potrebbe dirmi come va risolto questo quesito?
Grazie anticipatamente.
Risposte
"Otherguy2k":
Fissato un riferimento cartesiano si considerino le rette:
$r:{y-1=0;2x+z-1=0$
e
$s:{x-y=0;2y +z -1=0$
Determinare, se esiste, un piano contenete r e s.
Inizia prima di tutto a vedere se il sistema sovradeterminato $4 \times 3$ ha soluzione.
Ho fatto i calcoli e ho trovato che le due rette hanno in effetti un punto in comune,
quindi non sono sghembe.
Trovare il piano è facile..
Francesco Daddi
Il piano dovrebbe essere
$2x+z-1=0$
come d'altra parte si poteva prevedere, perché la seconda retta è definita
mediante il piano $2y+z-1=0$ con l'aggiunta del vincolo $x=y$...
Francesco Daddi
$2x+z-1=0$
come d'altra parte si poteva prevedere, perché la seconda retta è definita
mediante il piano $2y+z-1=0$ con l'aggiunta del vincolo $x=y$...
Francesco Daddi
Anzitutto grazie per la risposta.
Allora ho verificato che le due rette hanno in comune il punto (1,1,1).
Pero poi non ho capito come trovare l'equazione del piano , potresti illustrarmi i passaggi cortesemente ?
Allora ho verificato che le due rette hanno in comune il punto (1,1,1).
Pero poi non ho capito come trovare l'equazione del piano , potresti illustrarmi i passaggi cortesemente ?
io direi: il piano contenente le due rette è il piano passante per un punto di una qualsiasi delle due rette e avente per giacitura lo spazio generato dai vettori direttori delle due rette
e poi sono tutti calcoli..
e poi sono tutti calcoli..
Ciao a tutti.
Io direi cosi':
innanzitutto data l'equazione di un piano nello spazio affine $RR^3$, l'equazione dello spazio direttore è quella ottenuta eliminando fisicamente i "termini noti". Per esempio il piano determinato da $x+y=1$ ha come spazio direttore quello determinato da $x+y=0$.
Nel nostro caso quindi la retta r ha per direzione il vettore (1,0,-2), ovvero consiste di tutti i suoi multipli, e la retta s ha per direzione il vettore (1,1,-2).
Constatato che r ed s si incontrano in (1,1,-1), basta ora trovare l'equazione dello spazio generato dalle due direzioni di cui sopra, quindi trovare il piano passante per (1,1,-1) ed avente tale spazio come direzione.
Un vettore (x,y,z) si trova nello spazio determinato da (1,0,-2) e (1,1,-2) se e solo se è una loro combinazione lineare, ovvero se e solo se i tre vettori (x,y,z), (1,0,-2), (1,1,-2) sono linearmente dipendenti. Poiché gli ultimi due di questi tre vettori sono tra loro indipendenti, cio' è equivalente all'annullarsi del determinante della matrice $((x,y,z),(1,0,-2),(1,1,-2))$.
Tale determinante vale $2x+z$, quindi il piano cercato ha come direzione lo spazio determinato dall'equazione $2x+z=0$.
Per trovare il piano basta ora sostituire lo zero a secondo membro con un opportuno "termine noto" (è facile convincersene) che nel nostro caso, poiché il piano deve passare per (1,1,-1), dovrà essere 1 (= $2*1+(-1)$).
Si ottiene infine $2x+z=1$.
Io direi cosi':
innanzitutto data l'equazione di un piano nello spazio affine $RR^3$, l'equazione dello spazio direttore è quella ottenuta eliminando fisicamente i "termini noti". Per esempio il piano determinato da $x+y=1$ ha come spazio direttore quello determinato da $x+y=0$.
Nel nostro caso quindi la retta r ha per direzione il vettore (1,0,-2), ovvero consiste di tutti i suoi multipli, e la retta s ha per direzione il vettore (1,1,-2).
Constatato che r ed s si incontrano in (1,1,-1), basta ora trovare l'equazione dello spazio generato dalle due direzioni di cui sopra, quindi trovare il piano passante per (1,1,-1) ed avente tale spazio come direzione.
Un vettore (x,y,z) si trova nello spazio determinato da (1,0,-2) e (1,1,-2) se e solo se è una loro combinazione lineare, ovvero se e solo se i tre vettori (x,y,z), (1,0,-2), (1,1,-2) sono linearmente dipendenti. Poiché gli ultimi due di questi tre vettori sono tra loro indipendenti, cio' è equivalente all'annullarsi del determinante della matrice $((x,y,z),(1,0,-2),(1,1,-2))$.
Tale determinante vale $2x+z$, quindi il piano cercato ha come direzione lo spazio determinato dall'equazione $2x+z=0$.
Per trovare il piano basta ora sostituire lo zero a secondo membro con un opportuno "termine noto" (è facile convincersene) che nel nostro caso, poiché il piano deve passare per (1,1,-1), dovrà essere 1 (= $2*1+(-1)$).
Si ottiene infine $2x+z=1$.
Grazie ragazzi per le risposte , in particolare martino è stato chiarissimo !
Solo un particolare (probabilmente errore mio o magari irrilevante) a me come terna di numeri direttori di s mi esce (-1,-1,2) ,è buona lo stesso ?
Solo un particolare (probabilmente errore mio o magari irrilevante) a me come terna di numeri direttori di s mi esce (-1,-1,2) ,è buona lo stesso ?
"Otherguy2k":
a me come terna di numeri direttori di s mi esce (-1,-1,2) ,è buona lo stesso ?
Si, come qualunque suo multiplo non nullo.
Ok perfetto!
per fare prima potresti direttamente dire (fermorestando il procedimento di Martino)
un punto $P(x,y,z)$ appartiene al piano <=> $vec(P_0P)=(x-1,y-1,z-1) in W$ ove $P_0=(1,1,1)$ e $W$ è la giacitura del piano (o spazio direttore che dir si voglia)
cioè se e solo se $det((x-1,y-1,z-1),(1,0,-2),(1,1,-2))=0$ che è l'equazione del piano
un punto $P(x,y,z)$ appartiene al piano <=> $vec(P_0P)=(x-1,y-1,z-1) in W$ ove $P_0=(1,1,1)$ e $W$ è la giacitura del piano (o spazio direttore che dir si voglia)
cioè se e solo se $det((x-1,y-1,z-1),(1,0,-2),(1,1,-2))=0$ che è l'equazione del piano
Bene grazie per il consiglio !
Propongono un altro esercizietto.
Sia r la retta passante per i punti A(1,1,0) B(1,0,1) e $alfa$ un piano di equazione x+y+z=1.
Determinare il piano contenente r e ortogonale a $alfa$.
Anzitutto determino l'equazione di r, una terma di numeri direttori è rappresentata dalle compenenti di AB(0,-1,1)
Quindi una rappresentazione parametrica di r è fornita dal sistema ${x=1;y=1-t;z=t;$
Mentre una rappresentazione ordinaria è ${x-1=0;y+z-1=0$
Mi trovo prima il fascio di piani di asse r
$h(x-1)+k(y+z-1)=0$ da cui $hx+ky+kz-h-k=0$
I direttori di questo piano sono (h,k,k), mentre i direttori di $alfa$ sono (1,1,1)
Affinchè il piano che devo determinare sia ortogonale a $alfa$ occorre che $(h,k,k)*(1,1,1)=0$
cioè che $h+2k=0$ da cui h=-2k.Ponendo k=1 h=-2 l'equzione del piano che cerco sara quindi -2x+y+z-2=0
E corretto come ragionamento?Attendo eventuali smentite o conferme ringraziando sempre per l'attezione e la disponibilta.
Sia r la retta passante per i punti A(1,1,0) B(1,0,1) e $alfa$ un piano di equazione x+y+z=1.
Determinare il piano contenente r e ortogonale a $alfa$.
Anzitutto determino l'equazione di r, una terma di numeri direttori è rappresentata dalle compenenti di AB(0,-1,1)
Quindi una rappresentazione parametrica di r è fornita dal sistema ${x=1;y=1-t;z=t;$
Mentre una rappresentazione ordinaria è ${x-1=0;y+z-1=0$
Mi trovo prima il fascio di piani di asse r
$h(x-1)+k(y+z-1)=0$ da cui $hx+ky+kz-h-k=0$
I direttori di questo piano sono (h,k,k), mentre i direttori di $alfa$ sono (1,1,1)
Affinchè il piano che devo determinare sia ortogonale a $alfa$ occorre che $(h,k,k)*(1,1,1)=0$
cioè che $h+2k=0$ da cui h=-2k.Ponendo k=1 h=-2 l'equzione del piano che cerco sara quindi -2x+y+z-2=0
E corretto come ragionamento?Attendo eventuali smentite o conferme ringraziando sempre per l'attezione e la disponibilta.
è corretto
Eccone un altro...
Sia r la retta passante per i punti A(1,1,0) B(1,0,1) e alfa un piano di equazione x+y+z=1.
Determinare la retta complanare a r ,passante per (0,0,0) e parallela a alfa.
Una rappresentazione ordinaria di r è ${x-1=0;y+z-1=0$
Io stavo pensando di risolvere il quesito cosi:
Allora affinche la retta che cerco sia complanare a r , imposto la seguente
h(x-1)+k(y+z-1)=0 impongo il passaggio per (0,0,0)
e ottengo h=-k; Ponendo k=1 h=-1 ho:
-x+y+z=0
Poi devo imporre che la retta che cerco sia parallela al piano alfa il che significa dire che, detto $T_{alfa}$ una terna di direttori del piano alfa, $T_{alfa}*(l,m,n)=0$ con (l,m,n) generica terna di direttori della retta da determinare.
Ora si osserva che i direttori di r sono tali che se faccio il prodotto scalare con quelli di alfa mi danno zero dunque sono ortogonali e quindi r e alfa sono paralleli.
impongono che quindi la retta che cerco abbia come direttori quelli di r e ottengo y-z+k=0 passa per l'origine e quindi k=0.
Dunque una rappresentazione ordinario della retta sara ${-x+y+z=0;y-z=0$
Sinceramente non sono convinto del procedimento che ho adottato, sopratutto per la seconda condizione il parallelismo, qualcuno potrebbe dirmi se tale procedimento è corretto o comunque indicarmi un metodo piu rigorso per la risoluzione del secondo punto .
Grazie mille in anticipo.
Sia r la retta passante per i punti A(1,1,0) B(1,0,1) e alfa un piano di equazione x+y+z=1.
Determinare la retta complanare a r ,passante per (0,0,0) e parallela a alfa.
Una rappresentazione ordinaria di r è ${x-1=0;y+z-1=0$
Io stavo pensando di risolvere il quesito cosi:
Allora affinche la retta che cerco sia complanare a r , imposto la seguente
h(x-1)+k(y+z-1)=0 impongo il passaggio per (0,0,0)
e ottengo h=-k; Ponendo k=1 h=-1 ho:
-x+y+z=0
Poi devo imporre che la retta che cerco sia parallela al piano alfa il che significa dire che, detto $T_{alfa}$ una terna di direttori del piano alfa, $T_{alfa}*(l,m,n)=0$ con (l,m,n) generica terna di direttori della retta da determinare.
Ora si osserva che i direttori di r sono tali che se faccio il prodotto scalare con quelli di alfa mi danno zero dunque sono ortogonali e quindi r e alfa sono paralleli.
impongono che quindi la retta che cerco abbia come direttori quelli di r e ottengo y-z+k=0 passa per l'origine e quindi k=0.
Dunque una rappresentazione ordinario della retta sara ${-x+y+z=0;y-z=0$
Sinceramente non sono convinto del procedimento che ho adottato, sopratutto per la seconda condizione il parallelismo, qualcuno potrebbe dirmi se tale procedimento è corretto o comunque indicarmi un metodo piu rigorso per la risoluzione del secondo punto .
Grazie mille in anticipo.
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