Geometria/algebra lineare HELP
Ciao a tutti,
sono alle prese con la Geometria/Algebra lineare e non ho capito come risolvere questi esercizi, se mi date una mano magari spiegandomelo vi sarei grato.
Esercizio. 1
Sia $V = \{f(x, y, z) \in R3: x + y - z = 0; x - y + z = 0\}$ e sia $f: R^3 \to R^3$ l’applicazione lineare
avente come nucleo il sottospazio V e tale che $\lambda= 2$ è autovalore con autospazio generato dai vettori
$(1; 1; 1)$ e $(1; 1; 2)$.
(i) Determinare una base per $V$ .
(ii) Provare che $f$ non è suriettiva.
(iii) Scegliere una base $B$ per $R^3$ formata da autovettori di $f$ e scrivere la matrice associata ad $f$ rispetto
alla base $B$
Allora in parole povere trovo il nucleo, e so così ho una sua base. So che il nucleo ha le soluzioni del sistema omogeneo associato alla matrice che rappresenta l'applicazione lineare e so che questa ha come $2$ autovalore e conosciamo il relativo autospazio.
Ditemi se sto sbagliando. L'equazione $(A - lambdaI)*v=0$ deve avere come soluzioni rispettivamente sia $(1;1;1)$ sia $(1;1;2)$.
Ma poi non so come procedere. Alla fine quello che mi interessa è soprattutto capire come risolvere il primo punto e capire qual'è l'applicazione lineare.
Esercizio2
5. Trovare una base di R4 che contenga sia una base di U che una base di V , dove
$U = {(x, y, z, t) |x − 2z + y = 0}$, $V = L{(0, 2, 1,−1), (1,−2, 1, 1), (1, 2, 3,−1), (1, 2, 7, 1)}$
Su questo invece non saprei come fare, so ad esempio che si definisce base un insieme di vettori che genereno lo spazio e che al tempo stesso siano linearmente indipendenti tra loro. L'idea che ho è quella di trovare innanzitutto una base di V, vedere se genera U e continuare in questo modo, ma non mi sembra una soluzione al problema. Mi potete illuminare anche senza risolvere necessariamente l'esercizio?
Grazie
sono alle prese con la Geometria/Algebra lineare e non ho capito come risolvere questi esercizi, se mi date una mano magari spiegandomelo vi sarei grato.
Esercizio. 1
Sia $V = \{f(x, y, z) \in R3: x + y - z = 0; x - y + z = 0\}$ e sia $f: R^3 \to R^3$ l’applicazione lineare
avente come nucleo il sottospazio V e tale che $\lambda= 2$ è autovalore con autospazio generato dai vettori
$(1; 1; 1)$ e $(1; 1; 2)$.
(i) Determinare una base per $V$ .
(ii) Provare che $f$ non è suriettiva.
(iii) Scegliere una base $B$ per $R^3$ formata da autovettori di $f$ e scrivere la matrice associata ad $f$ rispetto
alla base $B$
Allora in parole povere trovo il nucleo, e so così ho una sua base. So che il nucleo ha le soluzioni del sistema omogeneo associato alla matrice che rappresenta l'applicazione lineare e so che questa ha come $2$ autovalore e conosciamo il relativo autospazio.
Ditemi se sto sbagliando. L'equazione $(A - lambdaI)*v=0$ deve avere come soluzioni rispettivamente sia $(1;1;1)$ sia $(1;1;2)$.
Ma poi non so come procedere. Alla fine quello che mi interessa è soprattutto capire come risolvere il primo punto e capire qual'è l'applicazione lineare.
Esercizio2
5. Trovare una base di R4 che contenga sia una base di U che una base di V , dove
$U = {(x, y, z, t) |x − 2z + y = 0}$, $V = L{(0, 2, 1,−1), (1,−2, 1, 1), (1, 2, 3,−1), (1, 2, 7, 1)}$
Su questo invece non saprei come fare, so ad esempio che si definisce base un insieme di vettori che genereno lo spazio e che al tempo stesso siano linearmente indipendenti tra loro. L'idea che ho è quella di trovare innanzitutto una base di V, vedere se genera U e continuare in questo modo, ma non mi sembra una soluzione al problema. Mi potete illuminare anche senza risolvere necessariamente l'esercizio?
Grazie
Risposte
Non sai fare proprio niente?!
Vai nel regolamento e prova a leggere il topic che riguarda i codici per scrivere le formule...
Vai nel regolamento e prova a leggere il topic che riguarda i codici per scrivere le formule...
Scusa, ma erano le 3 e 22 e avevo sonno, quindi non ho badato tanto alla forma, che a mio avviso è anche compresibilissima.
Vabbè riscrivo il messaggio.
Vabbè riscrivo il messaggio.
Non lo è, tant'è che stamattina non ho risposto solo per quello.
Le formule aiutano chi legge, quindi direi che è doveroso anche solo per educazione usarle.
Paola
Le formule aiutano chi legge, quindi direi che è doveroso anche solo per educazione usarle.
Paola
"Filottete":
Esercizio. 1
Sia $V = \{f(x, y, z) \in R3: x + y - z = 0; x - y + z = 0\}$ e sia $f: R^3 \to R^3$ l’applicazione lineare
avente come nucleo il sottospazio V e tale che K= 2 è autovalore con autospazio generato dai vettori
$(1; 1; 1)$ e $(1; 1; 2)$.
(i) Determinare una base per $V$ .
(ii) Provare che $f$ non è suriettiva.
(iii) Scegliere una base $B$ per $R^3$ formata da autovettori di $f$ e scrivere la matrice associata ad $f$ rispetto
alla base $B$.
A me sembra un po' posto male come problema. Ti usa \(\displaystyle f \) per definire \(\displaystyle V \) e poi ti definisce \(\displaystyle f \). Direi che c'è qualcosa che non va. Comunque dato che potrebbe averlo scritto così il professore (:roll: mah) faccio finta di nulla...
Quale sarebbe il punto che ti dà problemi? Il primo? Hai provato a risolvere il sistema definito dal sottospazio?
Si, è il primo che mi dà problemi.
Allora risolvo il sistema definito dal sottospazio e trovo quindi il nucleo ed una sua base, ma poi cosa faccio??
Conosco l'autospazio generato dall'autovalore 2 ma non so come sfruttare queste informazioni.
EDIT: Allora, ho capito il primo esercizio, avendolo provato alle 3 di notte ho fatto un pò di confusione con un concetto, quindi adesso lo riesco a risolvere.
Per quel che riguarda il secondo, avete qualche idea?
Allora risolvo il sistema definito dal sottospazio e trovo quindi il nucleo ed una sua base, ma poi cosa faccio??
Conosco l'autospazio generato dall'autovalore 2 ma non so come sfruttare queste informazioni.
EDIT: Allora, ho capito il primo esercizio, avendolo provato alle 3 di notte ho fatto un pò di confusione con un concetto, quindi adesso lo riesco a risolvere.
Per quel che riguarda il secondo, avete qualche idea?
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