Geometria2 - dimostrazione
Ciao! ho appena fatto lo scritto di geometria affine, euclidea e proiettiva, e l'orale è immintente (domattina alle 9 in punto - giacché sono l''unica..)
Credo di aver fatto male il primo esercizio, o almeno, non ne sono sicura, visto che il mio rigore formale traballa...riuscite a dimostrarmelo formalmente con precisione?
1) sia V uno spazio vettoriale euclideo e sia f l'omotetia di rapporto $lambda$. provare che f è un'isometria se e solo se $lambda=+-1$
Inoltre, una conferma per l'esercizio 2:
Sono assegnati in uno spazio affine di dim 4 due piani e un punto. Discutere a seconda della posizione reciproca di tali elementi l'esistenza di iperpiani passnti per il punto e paralleli a entrambi i piani assegnati. voi come l'avreste fatto?
Credo di aver fatto male il primo esercizio, o almeno, non ne sono sicura, visto che il mio rigore formale traballa...riuscite a dimostrarmelo formalmente con precisione?
1) sia V uno spazio vettoriale euclideo e sia f l'omotetia di rapporto $lambda$. provare che f è un'isometria se e solo se $lambda=+-1$
Inoltre, una conferma per l'esercizio 2:
Sono assegnati in uno spazio affine di dim 4 due piani e un punto. Discutere a seconda della posizione reciproca di tali elementi l'esistenza di iperpiani passnti per il punto e paralleli a entrambi i piani assegnati. voi come l'avreste fatto?
Risposte
"Gaal Dornick":
se invece l'intersezione delle giaciture è uno spazio di dimensione 1 (cioè i piani si incontrano in una retta)
ATTENZIONE non so se si incontrano in una retta.. mi sa che non è detto: ma non riesco ad "immaginarli"
In bocca al lupo anche per te! Poi ti invito a uscire per festeggiare!
speriamo bene...
La dimostrazione fila..è completamente diversa dalla mia, ma del resto credo ci siano varie possibilità (ad esembio tu non hai sfruttato da nessuna parte che la matrice associata rispetto a una base ortonormale dev'essere ortogonale..).
Il secondo è decisamente più sintetico del mio...forse ho romanzato troppo la cosa...ho analizzato caso per caso riempiendo una facciata di foglio protocollo...pareva un tema d'italiano da lontano...mi chiedevo se esistesse qualche formula sulle dimensioni dei sottospazi che con un solo colpo spiegava tutto..la sto cercando mentre ripeto i teoremi...
Grazie, e in bocca al lupo per entrambi gli orali!
Il secondo è decisamente più sintetico del mio...forse ho romanzato troppo la cosa...ho analizzato caso per caso riempiendo una facciata di foglio protocollo...pareva un tema d'italiano da lontano...mi chiedevo se esistesse qualche formula sulle dimensioni dei sottospazi che con un solo colpo spiegava tutto..la sto cercando mentre ripeto i teoremi...
Grazie, e in bocca al lupo per entrambi gli orali!
Che formula vorresti per i sottospazi?
Si, puoi sfruttare il fatto che rispetto a qualunque base la matrice associata a $phi$ è la matrice $lambda I_n$
in particolare ciò è vero rispetto ad una base ortomormale. Calcolo il prodotto tra $(lambda I_n)^t lambda I_n$ e impongo $=I_n$
cioè sto imponendo $lambda^2=1$ da cui la tesi
Si, puoi sfruttare il fatto che rispetto a qualunque base la matrice associata a $phi$ è la matrice $lambda I_n$
in particolare ciò è vero rispetto ad una base ortomormale. Calcolo il prodotto tra $(lambda I_n)^t lambda I_n$ e impongo $=I_n$
cioè sto imponendo $lambda^2=1$ da cui la tesi
ops ho editato al posto di quotare! 
vabbè
vabbè
"Gaal Dornick":
Che formula vorresti per i sottospazi?
Non lo so, chiedevo se esisteva! perché se esisteva la mia analisi romanzata e dettagliata era superflua...se non esiste (io non ne ho studiata nessuna che possa fare al caso), potrebbe andar bene! (leggi:paranoia post compito in cerca dei punti fermi della vita..)
ciao!!!
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