Geometria vettoriale!

[Jok3r1]

Salve a tutti, ho ricevuto dal mio docente di matematica una serie di esercizi da risolvere per alzare la mia povera media che si aggira attorno al 3,5-4 (Da noi le note vanno dall'1 al 6^^).
Nella serie sono presenti 2 esercizi di analitica dello spazio che non so risolvere. Se mi date qualche dritta ne sarei davvero felice.

Allora il primo è:

Sia data una retta secondo l'equazione parametrica:

r=(3,5,1)+t*(1,2,4) t puo variare da -1 a 3 compresi.

Devo determinare: A) Gli estremi, il punto medio, la lunghezza.
B) Un'Asse.

Il secondo è:

La retta g: r=(2,1,-1)+t*(1,3,5) interseca il piano 7x-y+5z-24=0.

Devo determinare: A) Il punto di intersezione.
B) L'angolo di intersezione.

Grazie per evenutali risposte e aiuti saluti Jok3r.

[apatriarca]

Come proveresti a risolverli? Hai almeno qualche idea? Quando si prova a risolvere un problema si deve partire dal testo del problema e vedere se si capisce la richiesta. Sapresti definire cosa sono ad esempio gli estremi o il punto medio o la lunghezza di un segmento definito da una equazione parametrica come quella che hai scritto?

[Jok3r1]

Si sono cosa sono più o meno. Essendo che t varia da meno -1 a 3 significa che la retta è limitata gli estremi sono i due punti di cordinate P1(X,Y,Z) e P2(X1,Y1;Z1) appunto estremi della retta. Il punto medio è la metà della retta. La lunghezza del segmento definito da un eq parametrica mi trovo in difficoltà.

grazie ancora

[apatriarca]

La cosa più importante in questo esercizio è comprendere la relazione tra i vari elementi della equazione parametrica che per comodità scrivo nella forma $P(t) = P_0 + t*\mathbf{d}$. $P_0$ è il più facile tra gli elementi della formula, se infatti scegliamo come valore del parametro $t = 0$ otteniamo $P(0) = P_0$. Si tratta quindi semplicemente di un punto del segmento. $\mathbf{d}$ è invece la direzione della retta, se infatti prendiamo i punti $P(0)$ e $P(1)$ sulla retta e calcoliamo il vettore che li unisce otteniamo $P(1) - P(0) = (P_0 + 1*\mathbf{d}) - P_0 = \mathbf{d}$. Infine vediamo il parametro $t$. Con il variare di $t$ otteniamo diversi punti sulla retta e a parità $\Delta t$ otteniamo un vettore differenza tra i punti corrispondenti costanti. Infatti se prendiamo $t$ e $t + \Delta t$ e calcoliamo $P(t + \Delta t) - P(t)$ otteniamo $\Delta t * \mathbf{d}$. Il punto $P$ percorre quindi il tragitto tra i due estremi in "tempo" costante. Ma allora diviene abbastanza semplice stabilire gli estremi del segmento: sono gli estremi dell'intervallo di definizione di $t$! Il punto intermedio è allora semplicemente il punto a metà tra i due estremi.
Per la lunghezza ti stai in realtà ponendo più problemi del dovuto. La lunghezza di un segmento è infatti semplicemente la distanza tra i due estremi che è a sua volta uguale a $(b - a)*\mathbf{d}$ dove $a$ e $b$ sono gli estremi del tuo parametro $t \in [a,b]$, nel tuo caso $a = -1$ e $b = 3$. Spero sia chiaro.

[Jok3r1]

Grazie mille si sei stato molto chiaro: in baso a quello che mi hai detto ho ottenuto questi risultati cordinate degli estremi : (6;11;13); (2;3;-3) punto medio (4;7;5), modulo del vettore lunghezza 4*abs(21) circa 18,33.

[Jok3r1]

Per il secondo esercizio ho difficoltà con l'angolo di intersezione non so come trovarlo (so che potrei utilizzare il vettore normale del piano cioè quello perpendicolare al piano). Il punto di interesezione l'ho trovato ponendo a sistema le due equazioni e ricavando il parametro t.