Geometria: Uso degli autovalori per quadriche
Ciao ragazzi. Voglio sottoporvi un piccolo problema di geometria. In particolare, alcuni procedimenti che non mi sono chiari per riconoscere le quadriche degeneri.
Ho una quadrica del tipo: $\x^2 +2ky + y^2 + z^2 +1=0$. Devo classificarla al variare di $k$.
Matrice B: $((1,k,0,0),(k,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$ Sottomatrice A: $((1,k,0),(k,1,0),(0,0,1))$
Procedo al riconoscimento calcolando il determinante della matrice B della quadrica e della sottomatrice A, che sarà $|B|=|A|= 1-k^2$
Trovo che per $k!=\pm1$, ho delle quadriche non degeneri, iperboloidi o ellissoidi. Per $k=\pm1$, il rango della matrice B si abbassa e avrò un cono o cilindro, una quadrica irriducibile (in seguito ho trovato che è un cilindro, avendo vertici impropri).
Procedo con lo studio delle quadriche degeneri. Esamino il determinante della sottomatrice A nei vari casi.
Per $1-k^2 > 0$, quindi $-11$, ho un iperboloide. Devo trovare la tipologia di queste quadriche degeneri, cioè se ho un ellissoide reale o immaginario o un iperboloide ellittico o iperbolico.
A questo punto, normalmente, mi trovo un punto dell'iperboloide, considero il piano tangente alla quadrica nel punto considerato, e poi faccio a sistema, l'equazione del piano con l'equazione della quadrica, e potrò vedere i vari casi, se avrò punti ellittici o iperbolici.
Per l'ellissoide come procedo? Come faccio a vedere se è immaginario o reale?
Questo esercizio fa parte di un compito risolto.
Il mio vero problema è questo.
Il professore risolve questi ultimi passaggi considerando un'equazione ridotta del 1° tipo $\alphax^2 +\betay^2 +\gammaz^2 = \delta$ con $\delta = -1$. Non capisco il perchè di questa riduzione. Il $\delta = -1$ probabilmente fa riferimento al termine noto 1 dell'equazione iniziale della quadrica portato al secondo membro.
Poi il prof procede con il calcolo degli autovalori, calcolando il polinomio caratteristico della sottomatrice A, che è $P(x) = (1-T)*(T^2 -2T +1 -k^2)$. Poi scrive che per $1-k^2 > 0$ si hanno tre autovalori distinti ma discordi con $\delta$, quindi ho un ellissoide immaginario. Mentre per $1-k^2 < 0$ ho due autovalori positivi ed uno negativo, cioè un solo autovalore concorde con $\delta$, ho un iperboloide ellittico.
Come è possibile arrivare subito al riconoscimento tramite gli autovalori? In questo modo non devo più seguire il normale procedimento scritto sopra. Potete spiegarmi perchè e come si ricorre agli autovalori?
Grazie, ciao.
Ho una quadrica del tipo: $\x^2 +2ky + y^2 + z^2 +1=0$. Devo classificarla al variare di $k$.
Matrice B: $((1,k,0,0),(k,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$ Sottomatrice A: $((1,k,0),(k,1,0),(0,0,1))$
Procedo al riconoscimento calcolando il determinante della matrice B della quadrica e della sottomatrice A, che sarà $|B|=|A|= 1-k^2$
Trovo che per $k!=\pm1$, ho delle quadriche non degeneri, iperboloidi o ellissoidi. Per $k=\pm1$, il rango della matrice B si abbassa e avrò un cono o cilindro, una quadrica irriducibile (in seguito ho trovato che è un cilindro, avendo vertici impropri).
Procedo con lo studio delle quadriche degeneri. Esamino il determinante della sottomatrice A nei vari casi.
Per $1-k^2 > 0$, quindi $-1
A questo punto, normalmente, mi trovo un punto dell'iperboloide, considero il piano tangente alla quadrica nel punto considerato, e poi faccio a sistema, l'equazione del piano con l'equazione della quadrica, e potrò vedere i vari casi, se avrò punti ellittici o iperbolici.
Per l'ellissoide come procedo? Come faccio a vedere se è immaginario o reale?
Questo esercizio fa parte di un compito risolto.
Il mio vero problema è questo.
Il professore risolve questi ultimi passaggi considerando un'equazione ridotta del 1° tipo $\alphax^2 +\betay^2 +\gammaz^2 = \delta$ con $\delta = -1$. Non capisco il perchè di questa riduzione. Il $\delta = -1$ probabilmente fa riferimento al termine noto 1 dell'equazione iniziale della quadrica portato al secondo membro.
Poi il prof procede con il calcolo degli autovalori, calcolando il polinomio caratteristico della sottomatrice A, che è $P(x) = (1-T)*(T^2 -2T +1 -k^2)$. Poi scrive che per $1-k^2 > 0$ si hanno tre autovalori distinti ma discordi con $\delta$, quindi ho un ellissoide immaginario. Mentre per $1-k^2 < 0$ ho due autovalori positivi ed uno negativo, cioè un solo autovalore concorde con $\delta$, ho un iperboloide ellittico.
Come è possibile arrivare subito al riconoscimento tramite gli autovalori? In questo modo non devo più seguire il normale procedimento scritto sopra. Potete spiegarmi perchè e come si ricorre agli autovalori?
Grazie, ciao.
Risposte
Credo che la risposta sia nell'uso dei 4 invarianti di una quadrica ,due dei
quali sono proprio |B| ed |A|.Se la quadrica è data nella forma canonica :
$alpha x^2+beta y^2+ gamma z^2-delta=0$ allora è facile vedere che $ alpha,beta,gamma $
sono esattamente gli autovalori rispetto ad A e che valgono le relazioni:
${(|A|=alpha*beta*gamma),(|B|=-alpha*beta*gamma*delta):}$
Da queste relazioni ,dividendo membro a membro ,risulta:
$(|B|)/(|A|)=-delta$
Quest'ultima eguaglianza vale anche se la quadrica non è data nella forma canonica perché
appunto |B| ed |A| sono invarianti per trasformazioni (ortogonali ) di coordinate.
Nel nostro caso $|B|=|A|$ e quindi $delta=-1$ ( niente "1" che passa a secondo membro !)
P.S.
Non ho capito perché parli di quadriche degeneri .Per $k!=+-1$ si hanno solo quadriche non degeneri...
.
quali sono proprio |B| ed |A|.Se la quadrica è data nella forma canonica :
$alpha x^2+beta y^2+ gamma z^2-delta=0$ allora è facile vedere che $ alpha,beta,gamma $
sono esattamente gli autovalori rispetto ad A e che valgono le relazioni:
${(|A|=alpha*beta*gamma),(|B|=-alpha*beta*gamma*delta):}$
Da queste relazioni ,dividendo membro a membro ,risulta:
$(|B|)/(|A|)=-delta$
Quest'ultima eguaglianza vale anche se la quadrica non è data nella forma canonica perché
appunto |B| ed |A| sono invarianti per trasformazioni (ortogonali ) di coordinate.
Nel nostro caso $|B|=|A|$ e quindi $delta=-1$ ( niente "1" che passa a secondo membro !)
P.S.
Non ho capito perché parli di quadriche degeneri .Per $k!=+-1$ si hanno solo quadriche non degeneri...
.
Grazie silvano38 per la tua risposta. Adesso ho capito. Il problema è che nè gli appunti del professore, nè il libro, parlano dell'uso degli autovalori per le quadriche e non sapevo come fare.
P.S. Scusami per l'errore. Una distrazione. Correggo subito.
P.P.S. Silvano38, ma queste invarianti per una quadrica posso essere usate sempre? Non esiste alcun vincolo?
Grazie ancora!
P.S. Scusami per l'errore. Una distrazione. Correggo subito.
P.P.S. Silvano38, ma queste invarianti per una quadrica posso essere usate sempre? Non esiste alcun vincolo?
Grazie ancora!
Non vedo limiti all'uso degli invarianti.Molte volte anzi sono il modo più veloce per giungere alla forma canonica di una quadrica ed anche per risolvere altri problemi.
Perfetto. Era quello che volevo sapere. In questo modo, infatti si risparmiano tanti calcoli. Ti ringrazio!
"Albertus16":
Poi il prof procede con il calcolo degli autovalori, calcolando il polinomio caratteristico della sottomatrice A, che è $P(x) = (1-T)*(T^2 -2T +1 -k^2)$. Poi scrive che per $1-k^2 > 0$ si hanno tre autovalori distinti ma discordi con $\delta$, quindi ho un ellissoide immaginario. Mentre per $1-k^2 < 0$ ho due autovalori positivi ed uno negativo, cioè un solo autovalore concorde con $\delta$, ho un iperboloide ellittico.
Un'ultima cosa, Silvano38. Ieri sera non ci ho pensato. Il prof,dall'esame degli autovalori, come fa a classificare i punti, in questi caso ellittici, dell'iperboloide? Idem per l'ellissoide. Esiste una qualche tabella che mi permetta di confrontare gli autovalori delle quadriche e quindi classificare le quadriche degeneri, a seconda dei punti,o ellittici,iperbolici?
Per le quadriche a centro e non degeneri vale la seguente tabella :
1) i tre autovalori ed il $delta$ hanno tutti lo stesso segno ( positivo e negativo che sia) :
ellissoide reale ( a punti ellittici)
2) i tre autovalori hanno lo stesso segno ma opposto a quello del $delta$ :
ellissoide immaginario ( a punti ellittici)
3) due autovalori hanno segno uguale a quello del $delta$ mentre il terzo autovalore ha segno opposto :
iperboloide iperbolico ( o ad una falda ,a punti iperbolici)
4) un solo autovalore ha il segno del $delta$ mentre gli altri due autovalori hanno segno opposto :
iperboloide ellittico ( o a due falde ,a punti ellittici)
N.B.
I tre autovalori debbono essere tutti reali, distinti e non nulli
1) i tre autovalori ed il $delta$ hanno tutti lo stesso segno ( positivo e negativo che sia) :
ellissoide reale ( a punti ellittici)
2) i tre autovalori hanno lo stesso segno ma opposto a quello del $delta$ :
ellissoide immaginario ( a punti ellittici)
3) due autovalori hanno segno uguale a quello del $delta$ mentre il terzo autovalore ha segno opposto :
iperboloide iperbolico ( o ad una falda ,a punti iperbolici)
4) un solo autovalore ha il segno del $delta$ mentre gli altri due autovalori hanno segno opposto :
iperboloide ellittico ( o a due falde ,a punti ellittici)
N.B.
I tre autovalori debbono essere tutti reali, distinti e non nulli
Grazie, silvano38. Gentilissimo.
Salve, mi sono appena registrato quindi se sbaglio qualcosa fatemelo sapere....
Ho visto questa discussione sulle quadriche e mi interessava sapere come posso trovare la forma canonica di un paraboloide che se non erro dovrebbe essere
del tipo $ βY^2+γZ^2= 2δX $ ovvero mi interessava sapere quali sono le relazioni con gli invarianti ortogonali?...in questo caso dato che α non c'è devo ugualmente cercare gli autovalori di A ?
Ho visto questa discussione sulle quadriche e mi interessava sapere come posso trovare la forma canonica di un paraboloide che se non erro dovrebbe essere
del tipo $ βY^2+γZ^2= 2δX $ ovvero mi interessava sapere quali sono le relazioni con gli invarianti ortogonali?...in questo caso dato che α non c'è devo ugualmente cercare gli autovalori di A ?
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