Geometria universitaria
nella geometria classica si parte con dei postulati e enti primitivi e poi si sviluppano i teoremi..
all' universita questo sembra dimenticato.... come si fonda la geometria analitica?
invece di vedere il piano la retta e il punto come enti primitivi se ne danno le equazioni e si dice la retta il piano e il punto hanno queste equazioni? come si fonda questo tipo di geometria?
all' universita questo sembra dimenticato.... come si fonda la geometria analitica?
invece di vedere il piano la retta e il punto come enti primitivi se ne danno le equazioni e si dice la retta il piano e il punto hanno queste equazioni? come si fonda questo tipo di geometria?
Risposte
Mi sembra un po che tu abbia le idee confuse. Tutte le geometrie su fondano su assiomi. Quella che tu chiami "analitica" presumo che tu intenda la geometria affine/euclidea.
In quest'ultima gli enti geometrici sono spazi affini e gli spazi affini sono assiomaticamente definiti.
Ogni spazio affine è identificabile attraverso un sistema lineare e ,viceversa, ogni sistema lineare identifica, sotto dovute ipotesi, uno spazio affine.
In questi termini possiamo dire che sè una retta un'espressione del tipo : $ax+by+c=0$.(1). (in particolare mi riferisco a rette del piano ).
Se prendiamo la geometria affine un risultato di tipo (1) viene dopo, dopo aver definito la struttura dello stesso.
Si parte da uno spazio vettoriale $V$ costruito su $\mathbb{K}$ e un insieme non vuoto $A$ e si definisce un'applicazione
$\phi : A \times A -> V$ tale che soddisfa 1) $AA P \in A , AA v \in V EE! Q t,c \phi(P,Q)=v$ e 2) $AA P,Q,R \in A : \phi(P,Q)+\phi(Q,R)= \phi(P,R)$
su questa definizione si fonda tutta la geometria che tu definisci "universitaria".
Un sottospazio affine è individuato da un punto $Q$ e da una giacitura, la quale è un sottospazio di $V$ che chiamiamo $W$,
Si dirà che $S={P \in A | \phi(Q,P) \in W}$. Si definisce anche il concetto di dimensione e si porrà che la $dimS=dimW$.
Fatta questa breve digressione , Una retta, un piano in questa geometria non sono enti primitivi ma particolari sottospazi affini.
In particolare una retta è uno spazio affine di dimensione 1 , un piano uno s.affine di dimensione 2 e così via.
Attenzione però, si chiamano allo stesso modo, ma in realtà non sono proprio la stessa cosa , in generale, delle rette e dei piani , che aveva in mente Euclide.
Ad esempio, se consideri uno spazio vettoriale di due elementi , ad esempio $ZZ_2$ affine su se stesso, $ZZ_2$ è una retta e quindi i punti di tale spazio sono due. E quindi avresti una "retta" fatta solo da due punti, contro l'intuizione classica della retta come continuità.
Se non ho centrato il problema, ti chiedo gentilmente di particolareggiare la domanda.
In quest'ultima gli enti geometrici sono spazi affini e gli spazi affini sono assiomaticamente definiti.
Ogni spazio affine è identificabile attraverso un sistema lineare e ,viceversa, ogni sistema lineare identifica, sotto dovute ipotesi, uno spazio affine.
In questi termini possiamo dire che sè una retta un'espressione del tipo : $ax+by+c=0$.(1). (in particolare mi riferisco a rette del piano ).
Se prendiamo la geometria affine un risultato di tipo (1) viene dopo, dopo aver definito la struttura dello stesso.
Si parte da uno spazio vettoriale $V$ costruito su $\mathbb{K}$ e un insieme non vuoto $A$ e si definisce un'applicazione
$\phi : A \times A -> V$ tale che soddisfa 1) $AA P \in A , AA v \in V EE! Q t,c \phi(P,Q)=v$ e 2) $AA P,Q,R \in A : \phi(P,Q)+\phi(Q,R)= \phi(P,R)$
su questa definizione si fonda tutta la geometria che tu definisci "universitaria".
Un sottospazio affine è individuato da un punto $Q$ e da una giacitura, la quale è un sottospazio di $V$ che chiamiamo $W$,
Si dirà che $S={P \in A | \phi(Q,P) \in W}$. Si definisce anche il concetto di dimensione e si porrà che la $dimS=dimW$.
Fatta questa breve digressione , Una retta, un piano in questa geometria non sono enti primitivi ma particolari sottospazi affini.
In particolare una retta è uno spazio affine di dimensione 1 , un piano uno s.affine di dimensione 2 e così via.
Attenzione però, si chiamano allo stesso modo, ma in realtà non sono proprio la stessa cosa , in generale, delle rette e dei piani , che aveva in mente Euclide.
Ad esempio, se consideri uno spazio vettoriale di due elementi , ad esempio $ZZ_2$ affine su se stesso, $ZZ_2$ è una retta e quindi i punti di tale spazio sono due. E quindi avresti una "retta" fatta solo da due punti, contro l'intuizione classica della retta come continuità.
Se non ho centrato il problema, ti chiedo gentilmente di particolareggiare la domanda.
Ciò che cambia è che nella geometria classica alcuni enti geometrici erano primitivi mentre la geometria moderna si base su altre teorie matematiche. In particolare si fonda sulla teoria degli insiemi e alcuni concetti dell’algebra moderna. Ciò che è cambiato è quindi la ‘primitività’ della geometria e non la formalità del metodo scientifico. Tra l'altro, a rigore, si dovrebbe evidenziare che la geometria di Euclide aveva più buchi di un emmental, e che quindi il nuovo approccio ha, da una parte, scopi puramente di calcolo e dall'altro lo scopo di risolvere i problemi intrinsechi nell'assiomatizzazione euclidea senza dover prendere mano materialmente agli assiomi (cosa che comunque ha fatto Hilbert nel 900).
intanto grazie delle risposte... ok questo l' ho capito.. pero quand si parla di iperboli ellissi con le loro equazioni oppure di ellissoidi se ne sa disegnare l' andamento qualitativo.... questo grazie ai risultati di analisi o cosa? perche geometricamente in termini di spazi affini dovrebbe essere tutto astratto e senza disegni...non e algebra lineare quella?
altro punto: le equazioni canoniche se si prendono i tre assi non ortogonali rappresentano sempre le stesse figure?
grazie in anticipo!!
altro punto: le equazioni canoniche se si prendono i tre assi non ortogonali rappresentano sempre le stesse figure?
grazie in anticipo!!
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