Geometria tridimensionale, determinare piano
Buongiorno 
,
mi trovo davanti ad un quesito di geometria tridimensionale che, non avendo trattato durante le lezioni scolastiche, non mi risulta di facile risoluzione, nonostante abbia cercato di risolvere con l'ausilio del libro di testo e di internet..
Il suddetto quesito è questo:
Io ho una data sfera s di equazione x²+y²+z²=9, una retta r: x=√3-t, y=√3, z=t e devo trovare un piano che comprenda r e sia tangente a s.
Essendo un piano definito se vi sono una retta e un punto, io avevo pensato di trovare innanzi tutto un piano comprendente r e in secondo luogo di mettere a sistema questo piano con la sfera s.
Sfortunatamente già qui incontro un problema.. Sapendo che una retta nello spazio può essere definita come l'intersezione di due piani tra loro non paralleli la formula dovrebbe essere questa: $ { ( ax+by+cz+d=0 ),( a'x+b'y+c'z+d'=0 ):} $ tuttavia, in questo caso, io non ho i due piani, ma devo trovalo. Ho dunque pensato di egualiare le due espressioni portando poi la seconda eq a primo membro, raccogliendo a fattor comune ottenendo così (a-a')x+(b-b')y+(c-c')z+(d-d')=0 e a questo punto ho notato che in una forma generale l'equazione di un generico piano e di una generica retta sono identiche (considerando per esempio (a-a')=j etc.). Indi per cui ho pensato di sostituire i valori dati di r a questa nuova equazione. ottendo a(√3-t)+b√3+ct+d=0. Fin qua è corretto?
Ammettendo che già questo non sia un passo falso, io ho proseguito mettendo a sistema la sfera s con quest'equazione: $ { ( x²+y²+z²=9 ),( a(√3-t)+b√3+ct+d=0 ):} $.
Volevo scrivere anche la condizione di tangenza in questo sistema, ma mi è sorto un dubbio: questa condizione è la stessa della geometria bidimensionale in cui il delta deve essere uguale a 0?
Presumendo di aver sbagliato in qualche passaggio chiedo a voi come poter risolvere questo quesito in modo corretto. Grazie.
, mi trovo davanti ad un quesito di geometria tridimensionale che, non avendo trattato durante le lezioni scolastiche, non mi risulta di facile risoluzione, nonostante abbia cercato di risolvere con l'ausilio del libro di testo e di internet..
Il suddetto quesito è questo:
Io ho una data sfera s di equazione x²+y²+z²=9, una retta r: x=√3-t, y=√3, z=t e devo trovare un piano che comprenda r e sia tangente a s.
Essendo un piano definito se vi sono una retta e un punto, io avevo pensato di trovare innanzi tutto un piano comprendente r e in secondo luogo di mettere a sistema questo piano con la sfera s.
Sfortunatamente già qui incontro un problema.. Sapendo che una retta nello spazio può essere definita come l'intersezione di due piani tra loro non paralleli la formula dovrebbe essere questa: $ { ( ax+by+cz+d=0 ),( a'x+b'y+c'z+d'=0 ):} $ tuttavia, in questo caso, io non ho i due piani, ma devo trovalo. Ho dunque pensato di egualiare le due espressioni portando poi la seconda eq a primo membro, raccogliendo a fattor comune ottenendo così (a-a')x+(b-b')y+(c-c')z+(d-d')=0 e a questo punto ho notato che in una forma generale l'equazione di un generico piano e di una generica retta sono identiche (considerando per esempio (a-a')=j etc.). Indi per cui ho pensato di sostituire i valori dati di r a questa nuova equazione. ottendo a(√3-t)+b√3+ct+d=0. Fin qua è corretto?
Ammettendo che già questo non sia un passo falso, io ho proseguito mettendo a sistema la sfera s con quest'equazione: $ { ( x²+y²+z²=9 ),( a(√3-t)+b√3+ct+d=0 ):} $.
Volevo scrivere anche la condizione di tangenza in questo sistema, ma mi è sorto un dubbio: questa condizione è la stessa della geometria bidimensionale in cui il delta deve essere uguale a 0?
Presumendo di aver sbagliato in qualche passaggio chiedo a voi come poter risolvere questo quesito in modo corretto. Grazie
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Risposte
"mareblu":
Fin qua è corretto?
Secondo me, no. Il fascio di piani tutti passanti per $r$ dovrebbe dipendere da un parametro, mentre il piano da te trovato dipende da 3.
Tra l'altro non ho ben capito come l'hai trovato.
Ti conviene scrivere l'equazione della retta $r$ in forma cartesiana, come intersezione di due piani nella forma ${(ax+by+cz+d=0),(a'x+b'y+c'z+d'=0):}$
dove $a,b,c,d,a',b',c',d'$ sono noti.
L'equazione del fascio di piani è
$ax+by+cz+d+k(ax+by+cz+d)=0$
dipendenti da parametro $k$.
"mareblu":
Volevo scrivere anche la condizione di tangenza in questo sistema, ma mi è sorto un dubbio: questa condizione è la stessa della geometria bidimensionale in cui il delta deve essere uguale a 0?
Un metodo può essere questo. Abbastanza lungo e "contaiolo" ma è giusto.
Tieni conto che troverai un solo valore per il parametro $k$, solo se la retta iniziale e la sfera sono eterni o tangenti.
Scusami se ho risposto velocemente ma sono di fretta...buon lavoro!
P.S. Benvenuto nel nostro forum
Grazie mille per la risposta e il benvenuto
"mareblu":
Buongiorno
mi trovo davanti ad un quesito di geometria tridimensionale che, non avendo trattato durante le lezioni scolastiche, non mi risulta di facile risoluzione, nonostante abbia cercato di risolvere con l'ausilio del libro di testo e di internet..
Il suddetto quesito è questo:
Io ho una data sfera s di equazione x²+y²+z²=9, una retta r: x=√3-t, y=√3, z=t e devo trovare un piano che comprenda r e sia tangente a s.
Essendo un piano definito se vi sono una retta e un punto, io avevo pensato di trovare innanzi tutto un piano comprendente r e in secondo luogo di mettere a sistema questo piano con la sfera s.
Sfortunatamente già qui incontro un problema.. Sapendo che una retta nello spazio può essere definita come l'intersezione di due piani tra loro non paralleli la formula dovrebbe essere questa: $ { ( ax+by+cz+d=0 ),( a'x+b'y+c'z+d'=0 ):} $ tuttavia, in questo caso, io non ho i due piani, ma devo trovalo. Ho dunque pensato di egualiare le due espressioni portando poi la seconda eq a primo membro, raccogliendo a fattor comune ottenendo così (a-a')x+(b-b')y+(c-c')z+(d-d')=0 e a questo punto ho notato che in una forma generale l'equazione di un generico piano e di una generica retta sono identiche (considerando per esempio (a-a')=j etc.). Indi per cui ho pensato di sostituire i valori dati di r a questa nuova equazione. ottendo a(√3-t)+b√3+ct+d=0. Fin qua è corretto?
Ammettendo che già questo non sia un passo falso, io ho proseguito mettendo a sistema la sfera s con quest'equazione: $ { ( x²+y²+z²=9 ),( a(√3-t)+b√3+ct+d=0 ):} $.
Volevo scrivere anche la condizione di tangenza in questo sistema, ma mi è sorto un dubbio: questa condizione è la stessa della geometria bidimensionale in cui il delta deve essere uguale a 0?
Presumendo di aver sbagliato in qualche passaggio chiedo a voi come poter risolvere questo quesito in modo corretto. Grazie
Ok, armiamoci di volonta' e partiamo.
Non e' un problema facile, come dici tu, e senza delle nozioni di calcolo vettoriale, si rischia di impaludarsi in qualche equazione di grado n-esimo.
Lo risolvo perche' per me e' interessante, e non credo (senza offesa) che tu sia in grado di risolverlo... cosi' vedi come si fa.
Se invece vuoi cimentarti lo stesso e provare tu a risolverlo, non leggere oltre.
Inoltre, onestamente non so che speranze hai di risolvere
$ { ( x²+y²+z²=9 ),( a(√3-t)+b√3+ct+d=0 ):} $.
Sono 7 incognite con 2 equazioni, per cui non vedo grosse vie d'uscita.
Allora abbiamo la retta
$ r: x=√3-t, y=√3, z=t $
che possiamo riscrivere senza parametro secondo il sistema:
$ \frac{x-\sqrt(3)}{-1}= z $
$ y - \sqrt(3) = 0 $
Quindi consideriamo un vettore parallelo alla retta che avra' equazione
[tex]- \overrightarrow{i} +\overrightarrow{k}[/tex]
Chiamiamolo $ [tex]\overrightarrow{R}[/tex]
Ora consideriamo il fascio di piani su cui giace la retta $ r $ e ci chiediamo che caratteristiche possono avere.
Di sicuro, il vettore normale di ciascun piano e' perpendicolare al vettore parallelo alla retta.
E' l'unica condizione che ci contraddistingue i piani del fascio.
Successivamente faremo diventare i vettori normali dei versori, imponendo il loro modulo a 1, cosi' facendo ci rimane solo 1 parametro che individua il fascio.
La condizione di perpendicolarita' tra vettori si trova imponendo a zero il loro prodotto scalare.
Per cui prendiamo un generico vettore [tex]\overrightarrow{N} = A\overrightarrow{i} + B\overrightarrow{j} + C\overrightarrow{k}[/tex]
e imponiamo che [tex]\overrightarrow{R} \cdot \overrightarrow{N} = 0[/tex]
Otteniamo [tex]-A + C = 0[/tex]
Cioe' [tex]A = C[/tex]
da cui il nostro insieme di vettori normali al fascio di piani avra' equazione
[tex]\overrightarrow{N} = A\overrightarrow{i} + B\overrightarrow{j} + A\overrightarrow{k}[/tex]
Avevamo detto che il fascio di piani e' individuato da un solo parametro.
Per cui ci liberiamo del parametro B imponendo il modulo = 1, cioe' i vettori normali diventano versori.
[tex]|\overrightarrow{N}| = \sqrt(A^2+ B^2 + A^2)[/tex]
da cui
[tex]B = \sqrt(1-2A^2)[/tex]
Quindi [tex]\overrightarrow{N}[/tex] diventa
[tex]\overrightarrow{N} = A\overrightarrow{i} + \sqrt(1-2A^2)\overrightarrow{j} + A\overrightarrow{k}[/tex]
Il fascio di piani individuati da questi versori e' allora
[tex]Ax +\sqrt(1-2A^2)y + Az = 0[/tex]
Questo e' un fascio di piani.... ma..... passano tutti per l'origine e non per la nostra retta R
Come facciamo a far passare il piano per un punto della retta (e quindi per tuttsa la retta) ?
Di un generico piano
[tex]Ax + By + Cz = 0[/tex]
imponiamo il passaggio per un punto [tex]x0, y0, z0[/tex]scrivendo
[tex]A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0[/tex]
per la nostra retta r scegliamo un punto a caso [tex](\sqrt(3),\sqrt(3),0)[/tex] imponendo il parametro $ t = 0 $
Il fascio di piani generato dalla retta r e' quindi
[tex]A(x-\sqrt3) + \sqrt(1-2A^2) (y-\sqrt3) + Az = 0[/tex]
che riscriviamo cosi'
[tex]Ax +\sqrt(1-2A^2)y + Az + D = 0[/tex]
dove [tex]D = - A\sqrt3 - \sqrt(1-2A^2) \sqrt3[/tex]
Manca un passaggio per arrivare alla nostra mitica soluzione, cioe' dobbiamo individuare quei piano del fascio che sono tangenti alla nostra bellissima sfera di raggio 3.
Come facciamo ?
Imponiamo la distanza di un generico piano del fascio dall'origine a 3.
La distanza dei nostri piani dall'origine e' proprio [tex]|D|[/tex]
[tex]|D| = A\sqrt3 + \sqrt(1-2A^2) \sqrt3 = 3[/tex]
esplicitando A viene una cosa del tipo
[tex]2A^2 + 2\sqrt3 A + 2 = 0[/tex]
Risolviamo A ...... sorpresa !!!
A non da soluzioni (reali)....
cosa vuol dire ?
Vuol dire che non ci sono piani tangenti alla sfera !!!!
E questo perche' ?
Perche' evidentemente la retta passa dentro alla sfera e non all'esterno e
una retta interna alla sfera non ha piani tangenti alla sfera.
Ma bisogna fare una verifica per evitare di prendere fischi per fiaschi.
Allora controlliamo la distanza della retta r dall'origine.
La retta r e' abbastanza simmetrica rispetto agli assi cartesiani, e si vede abbstanza bene che la sua distanza e'
[tex]\frac{3}{\sqrt2}[/tex]
Siccome il raggio della sfera e' 3..... eh si , la retta passa proprio dentro alla sfera.
La trafigge.
Se non hai capito qualcosa chiedi. Tempo permettendo, rispondo.
Io ho finito.
Almeno un grazie (errori permettendo).
Grazie mille sul serio , tutto spiegato in modo molto chiaro, ora ho capito come risolvere questo quesito, grazie
, tutto spiegato in modo molto chiaro, ora ho capito come risolvere questo quesito, grazie
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