Geometria: teorema fondamentale

[Claudia881]

Qualcuno di buona volontà può spiegarmi il teorema fondamentale delle applicazioni lineari e la sua dimostrazione? Sul libro non ci salto fuori e sugli appunti c'è tutto meno quello che dice il libro... Anche solo un aiutino...
Grazie

[squalllionheart]

Il cuore del problema è capire che è possibile definire una corrispondenza tra due insiemi, questo vale per i gruppi gli anelli e gli spazi vettoriali in generale.
Siano A e B due insiemi e $rho$ una relazione d'equivalenza su A e f un applicazione da A in B allora esiste ed è unica applicazione biettiva f* tra $A/(rho)$ in $Imf$.
A te cosa ti serve quella tra spazi vettoriali, o in generale tra applicazioni?

[Claudia881]

In generale tra applicazioni lineari... penso che il prof sia stato poco chiaro nella sua spiegazione, poi non ce l'ha neanche dimostrata quindi mi sono trovata un po' spaesata... Lui ci ha detto che

Data l'applicazione lineare $ T: V->W $ e $ B=(e_1 , ..., e_n) $ base di $ V^n

$ T(e_1)=w_1 ... T(e_n)=w_n

$ EE! T:V->W $ tale che $ T(e_i)=w_i

Io così capisco che parla sempre della stessa applicazione...

[squalllionheart]

Esiste ed è unica T* che èè diverso... non due cose diverse...

[Megan00b]

Credo che claudia si riferisca ad un'altra cosa. Non è il teorema fondamentale delle applicazioni che hai citato tu, squalllionheart, ma il teorema che dice che dati due spazi e fissata una base in partenza ogni applicazione lineare è univocamente determinata dalle immagini dei vettori della base.
In altre parole V, W due spazi. Fisso una base ${e_1,...,e_n}$ di V.
Allora se $f,g:V->W$ sono lineari allora
$f=g <=> AAi g(e_i)=f(e_i)$
E si può dire anche:
"Fissata una base (quella di sù) in partenza ed n vettori $w_1,...,w_n$ in arrivo esiste ed è unica l'applicazione lineare che manda $e_i$ in $w_i$ per ogni i cioè se ne esiste un'altra allora sono uguali.

[Claudia881]

Ok ci sono... grazie....

Adesso provo a saltarci fuori con la dimostrazione!