Geometria spazio affine

[Benihime1]

non sono sicura di aver risolto correttamente questo esercizio
nello spazio tridimensionale si considerino le rette
$r:\{(z=0),(x+y=1):}$
$s:\{(z=-2),(x-y=0):}$
determinare nel fascio di asse $s$ un piano $\pi$ perpendicolare a $r$
determinare poi il punto $Q=\pi nn r$

ecco come l'ho svolto
il fascio di asse $s$ ha equazione $\alpha(x-y)+\beta(z+2)=0$
cioè $\alphax-\alphay+\betaz=-2\beta$ $->(1)$
ho pensato che quindi il piano cercato fosse un piano passante che un punto $P$ che risolve l'equazione $(1)$ e che avesse sottospazio direttore generato da vettori $v,w$ che risolvessero l'equazione omogenea associata
quindi $P=((0),(0),(-2))$ e $v=((1),(1),(0))$ e $w=((0),(\beta),(\alpha))$
quindi $\pi_(\alpha,\beta)=((0),(0),(-2))+<((1),(1),(0)),((0),(\beta),(\alpha))>$

ora:il sottospazio perpendicolare a $r$ è $<((1),(1),(0)),((0),(0),(1))>$
ma allora tutti i piani $\pi_(\alpha,\beta)$ sono perpendicolari a $r$
come faccio a sapere quale usare per calcolare $Q$?

[Maci86]

Ti mostro come procederei io, parto dalla retta r e trovo la sua direzione:
$r=((1),(0),(0)) + <((1),(-1),(0))>$
Quindi l'ortogonale al piano sarà:
$x-y=alpha$
Guardiamo la retta s e vediamo, che fortuna, che è uno dei due piani generatori:
$x-y=0$
Non mi resta che trovare il punto del piano:
$ 1+t -(-t)=0 => t=-1/2=> ((1/2),(1/2),(0))$

[Benihime1]

decisamente meno complicato grazie