Geometria spazio
ho un esercizio di geometria dello spazio
dove si chiede di trovare come ultima cosa (le altre le ho già trovate tutte) la retta tangente alla sfera $ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 5 $ passante per $ P(0,3,0) $ e giacente sul piano $ x + y = 3 $
qui mi sono bloccato , avevo pensato al fascio di rette appartenenti al piano e passati per p per poi trovare quelle la cui distanza dal centro della sfera fosse uguale al raggio ma non so come impostarlo..
dove si chiede di trovare come ultima cosa (le altre le ho già trovate tutte) la retta tangente alla sfera $ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 5 $ passante per $ P(0,3,0) $ e giacente sul piano $ x + y = 3 $
qui mi sono bloccato , avevo pensato al fascio di rette appartenenti al piano e passati per p per poi trovare quelle la cui distanza dal centro della sfera fosse uguale al raggio ma non so come impostarlo..
Risposte
io farei cosi:
1) scrivo l'equazione parametrica della retta passante per il centro della sfera e avente vettore direzionale parallelo a quello del piano indicato
2)trovo un punto a piacere su tale retta (che non sia il centro della sfera ovviamente)
3)scrivo l'equazione del piano passante per il punto scelto, il centro della sfera e per $P$
4)l'intersezione del piano trovato con quello dato dal problema costituisce l'equazione cartesiana della retta cercata
5) (opzionale) se richiesto la trasformo in parametrica!
Saluti
1) scrivo l'equazione parametrica della retta passante per il centro della sfera e avente vettore direzionale parallelo a quello del piano indicato
2)trovo un punto a piacere su tale retta (che non sia il centro della sfera ovviamente)
3)scrivo l'equazione del piano passante per il punto scelto, il centro della sfera e per $P$
4)l'intersezione del piano trovato con quello dato dal problema costituisce l'equazione cartesiana della retta cercata
5) (opzionale) se richiesto la trasformo in parametrica!
Saluti
ti ringrazio ma non mi pare che vada bene
il piano che mi dici di trovare al punto 3 è lo stesso piano x+y+3 perché tutti e tre i punti indicati giacciono li sopra.
la sfera interseca il piano $ x+y=3 $ disegnando su di esso una circonferenza C.
Io dovrei trovare,sullo stesso piano, la tangente (le due tangenti!) da $ P(0,3,0) $ a C.
quindi la domanda potrebbe essere:
ho la circonferenza
) $ (x−1)^2+(y−2)^2+(z−3)^2=5 $
) $ x+y = 3 $
come trovo la tangente da $ P(0,3,0) $ a questa circonferenza ?
il piano che mi dici di trovare al punto 3 è lo stesso piano x+y+3 perché tutti e tre i punti indicati giacciono li sopra.
la sfera interseca il piano $ x+y=3 $ disegnando su di esso una circonferenza C.
Io dovrei trovare,sullo stesso piano, la tangente (le due tangenti!) da $ P(0,3,0) $ a C.
quindi la domanda potrebbe essere:
ho la circonferenza
) $ (x−1)^2+(y−2)^2+(z−3)^2=5 $
) $ x+y = 3 $
come trovo la tangente da $ P(0,3,0) $ a questa circonferenza ?
Ho seguito questa strada, non ne sono totalmente sicuro:
Dati $P(0,3,0)$ e $C(1,2,3)$ sia $Q$ uno dei due punti di tangenza.
Imponendo il prodotto scalare nullo di un vettore generico con quello direzionale del piano si dovrebbe giungere alla conclusione che
$Q(a,3-a,c)$, con $a$ e $c$ reali.
Addesso quello che ho pensato è che per essere tangente il punto $Q$ deve distare $sqrt(6)$ da $P$ e ovviamente $sqrt(5)$ da $C$. Questo implica che (salto qualche passaggio):
${ ( 2a^2+c^2-4a-6c+2=0 ),( 2a^2+c^2-6=0 ):}$
con qualche passo si giunge a $c=4/3-2/3a$. Abbiamo quindi che $Q(a,3-a,4/3-2/3a)$, $a$ reale. Si verifica facilmente che giace sul piano, tuttavia va richiesta l'appartenenza alla circonferenza (quindi alla sfera siccome il piano va bene) e si ottiene (con qualche passaggio saltato di nuovo):
$11a^2-8a-1=0$ che ha due soluzioni distinte (per fortuna), che sono:
$a_1=\frac{4+sqrt(27)}{11}$ e $a_2=\frac{4-sqrt(27)}{11}$. In definitiva i due punti di tangenza sono:
$Q_1(\frac{4+sqrt(27)}{11},3-\frac{4+sqrt(27)}{11},4/3-2/3(\frac{4+sqrt(27)}{11}))$
$Q_2(\frac{4-sqrt(27)}{11},3-\frac{4-sqrt(27)}{11},4/3-2/3(\frac{4-sqrt(27)}{11}))$
Da questi potresti ricavare le rette tangenti.
Mi scuso in anticipo perchè temo ci sia una falla in tutto questo, e l'indizio più lampante è i numeri che saltano fuori..
Fammi sapere!
Dati $P(0,3,0)$ e $C(1,2,3)$ sia $Q$ uno dei due punti di tangenza.
Imponendo il prodotto scalare nullo di un vettore generico con quello direzionale del piano si dovrebbe giungere alla conclusione che
$Q(a,3-a,c)$, con $a$ e $c$ reali.
Addesso quello che ho pensato è che per essere tangente il punto $Q$ deve distare $sqrt(6)$ da $P$ e ovviamente $sqrt(5)$ da $C$. Questo implica che (salto qualche passaggio):
${ ( 2a^2+c^2-4a-6c+2=0 ),( 2a^2+c^2-6=0 ):}$
con qualche passo si giunge a $c=4/3-2/3a$. Abbiamo quindi che $Q(a,3-a,4/3-2/3a)$, $a$ reale. Si verifica facilmente che giace sul piano, tuttavia va richiesta l'appartenenza alla circonferenza (quindi alla sfera siccome il piano va bene) e si ottiene (con qualche passaggio saltato di nuovo):
$11a^2-8a-1=0$ che ha due soluzioni distinte (per fortuna), che sono:
$a_1=\frac{4+sqrt(27)}{11}$ e $a_2=\frac{4-sqrt(27)}{11}$. In definitiva i due punti di tangenza sono:
$Q_1(\frac{4+sqrt(27)}{11},3-\frac{4+sqrt(27)}{11},4/3-2/3(\frac{4+sqrt(27)}{11}))$
$Q_2(\frac{4-sqrt(27)}{11},3-\frac{4-sqrt(27)}{11},4/3-2/3(\frac{4-sqrt(27)}{11}))$
Da questi potresti ricavare le rette tangenti.
Mi scuso in anticipo perchè temo ci sia una falla in tutto questo, e l'indizio più lampante è i numeri che saltano fuori..
Fammi sapere!
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