Geometria Spaziale
Determinare nello spazio euclideo il piano contenente la retta r : x + 3z = y − 2 = 0 e
parallelo alla retta s : x − z = y − z = 0.
Vorrei capire come dovrei impostare questo problema. Qualcuno me la può spiegare?? Grazie
parallelo alla retta s : x − z = y − z = 0.
Vorrei capire come dovrei impostare questo problema. Qualcuno me la può spiegare?? Grazie
Risposte
"tupac":
Determinare nello spazio euclideo il piano contenente la retta r : x + 3z = y − 2 = 0 e
parallelo alla retta s : x − z = y − z = 0.
Vorrei capire come dovrei impostare questo problema. Qualcuno me la può spiegare?? Grazie
Un piano è definito attraverso due vettori e un punto. Una retto possiede un vettore direttore dato dalla sua rappresentazione parametrica.
Quello che devi fare è imporre che sia definito da quelle due direzioni e che passi per la prima retta. Prima di altri aiuti è meglio se, come imposto dal regolamento, esponi un tentativo di risolverlo.
dalle equazioni cartesiane di s calcola il vettore direzione di tale retta; considera il fascio proprio di piani contenente r (r è proprio l'asse del fascio), l'equazione generica del piano che cerchi sarà $lambda(x + 3z)+rho(y − 2)=0$ la cui giacitura è $lambda(x + 3z)+rho(y)=0$. imponi il parallelismo con la retta s ovvero sostituisci il vettore direzione al posto delle indeterminate X, Y,Z nella giacitura del fascio e ricava i valori di $lambda e rho$. vedo che è uno dei tuoi primi messaggi, come ti è già stato suggerito la prossima volta proponi un tuo metodo di risoluzione
Io in realtà avrei fatto così:
Prendo un punto \( P \) in \( r \). Il punto più semplice è \( (0,2,0) \). E calcolo di vettore direzione che è \( \mathbf{v} = -3t\mathbf{i} +t\mathbf{k} \).
Calcolo di vettore direzione di \( s \) che è \( \mathbf{w} = t\mathbf{i} + t\mathbf{j} + t\mathbf{k} \). Trovare il punto non serve.
A questo punto risolvo il “determinante” formale.
\[
0 = \begin{vmatrix}x & y - 2 & z \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix} = -x +4(y-2) -3z = -x+4y-3z-8\]
Il piano trovato è pertanto \( -x+4y-3z-8 = 0 \).
Quest'ultimo contiene la retta \( r \) in quando la sua intersezione con il piano \(\displaystyle y = 2 \) è la retta:
\[\begin{cases}y -2 = 0 \\ -x+4y-3z-8 = 0\end{cases} \longrightarrow \begin{cases}y -2 = 0 \\ -x-3z = 0\end{cases}
\]
che è visibilmente la retta \( r \).
Vediamo quindi che è parallela alla retta \( s \).
\[\begin{cases}y - z = 0 \\ \\x- z=0 \\ -x+4y-3z-8 = 0\end{cases} \longrightarrow \begin{cases}y - z = 0 \\ \\x- z=0 \\ -z+4z-3z-8 = 0\end{cases} \longrightarrow \begin{cases}y - z = 0 \\ \\x- z=0 \\ 0z = 8\end{cases}
\]
e quindi il sistema è impossibile e il piano deve essere parallelo alla retta.
Personalmente mi trovo meglio ad utilizzare l'algebra lineare in questi problemi piuttosto che metodi di geometria analitica. Soprattutto quando, come in questo caso, la direzione della retta è immediata.
Prendo un punto \( P \) in \( r \). Il punto più semplice è \( (0,2,0) \). E calcolo di vettore direzione che è \( \mathbf{v} = -3t\mathbf{i} +t\mathbf{k} \).
Calcolo di vettore direzione di \( s \) che è \( \mathbf{w} = t\mathbf{i} + t\mathbf{j} + t\mathbf{k} \). Trovare il punto non serve.
A questo punto risolvo il “determinante” formale.
\[
0 = \begin{vmatrix}x & y - 2 & z \\ -3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix} = -x +4(y-2) -3z = -x+4y-3z-8\]
Il piano trovato è pertanto \( -x+4y-3z-8 = 0 \).
Quest'ultimo contiene la retta \( r \) in quando la sua intersezione con il piano \(\displaystyle y = 2 \) è la retta:
\[\begin{cases}y -2 = 0 \\ -x+4y-3z-8 = 0\end{cases} \longrightarrow \begin{cases}y -2 = 0 \\ -x-3z = 0\end{cases}
\]
che è visibilmente la retta \( r \).
Vediamo quindi che è parallela alla retta \( s \).
\[\begin{cases}y - z = 0 \\ \\x- z=0 \\ -x+4y-3z-8 = 0\end{cases} \longrightarrow \begin{cases}y - z = 0 \\ \\x- z=0 \\ -z+4z-3z-8 = 0\end{cases} \longrightarrow \begin{cases}y - z = 0 \\ \\x- z=0 \\ 0z = 8\end{cases}
\]
e quindi il sistema è impossibile e il piano deve essere parallelo alla retta.
Personalmente mi trovo meglio ad utilizzare l'algebra lineare in questi problemi piuttosto che metodi di geometria analitica. Soprattutto quando, come in questo caso, la direzione della retta è immediata.
ovviamente con entrami i metodi si ottiene lo stesso risultato, avendo un prof che preferisce i metodi della geometria analitica solitamente risolvo certi problemi in questo modo invece che con l'algebra 
grazie per la precisazione vict85! 
grazie per la precisazione vict85!
Grazie per le risposte. molto chiari tutti e due. Non ho messo una mia proposta per la soluzione perchè non riuscivo a trovare almeno un filo logico tra le varie idee per risolvere l'esercizio.
Ragazzi, scusate ho provato a leggere questo post ma a me l'esercizio non viene ancora.
Ho due rette, r = (x,y,z) : (1,1,0) + t(-1,1,2) e s = (x,y,z) : (0,1,1) +t'(-1,1,2)
devo trovare
1) il piano contenente r e // a s
2) il piano contenente s e // a r
Modus operandi.
a) trovo equazioni cartesiane e mi costruisco il fascio di piani per la retta contenuta
b) pongo la ortogonalità tra le direttrici della retta // e la diretrice normale del piano, secondo
al + bm +cn = 0
ma a torna x+z-1 = 0 e 4x - 2y+3z-1 = 0
che sono entrambi sbagliati.
erro il procedimento? i calcoli sono giusti.
L'unico dubbio sussiste se, nel passo b) della ortogonalità, devo inserire anche i valori lambda/mu ( variabili del piano) indipendenti dalle componenti (x,y,z)
Uso Archim per visualizzare graficamente ma risulta sbagliato.
Grazie
Ho due rette, r = (x,y,z) : (1,1,0) + t(-1,1,2) e s = (x,y,z) : (0,1,1) +t'(-1,1,2)
devo trovare
1) il piano contenente r e // a s
2) il piano contenente s e // a r
Modus operandi.
a) trovo equazioni cartesiane e mi costruisco il fascio di piani per la retta contenuta
b) pongo la ortogonalità tra le direttrici della retta // e la diretrice normale del piano, secondo
al + bm +cn = 0
ma a torna x+z-1 = 0 e 4x - 2y+3z-1 = 0
che sono entrambi sbagliati.
erro il procedimento? i calcoli sono giusti.
L'unico dubbio sussiste se, nel passo b) della ortogonalità, devo inserire anche i valori lambda/mu ( variabili del piano) indipendenti dalle componenti (x,y,z)
Uso Archim per visualizzare graficamente ma risulta sbagliato.
Grazie
per i calcoli:
Inserisco equazioni cartesiane di r | x-y= 0 e x+z-1 = 0:
l(x-y) + j(x+z-1) = lx + jx -ly +jz -j = (l+j)x - (l)y + (j)z - j
inserisco perpendicolarità, ovvero (x,y,z) : (-1,1,2)
(l+j)(-1) - (l)(1) + (j)(2) - j = -l-j-l+2j-j ========> 0j = 2l (quindi comprendo che l deve essere 0 e j un qualsiasi numero!)
0(x-y) + 1(x+z-1) = 0 ====> x = 1-z
Grazie
Inserisco equazioni cartesiane di r | x-y= 0 e x+z-1 = 0:
l(x-y) + j(x+z-1) = lx + jx -ly +jz -j = (l+j)x - (l)y + (j)z - j
inserisco perpendicolarità, ovvero (x,y,z) : (-1,1,2)
(l+j)(-1) - (l)(1) + (j)(2) - j = -l-j-l+2j-j ========> 0j = 2l (quindi comprendo che l deve essere 0 e j un qualsiasi numero!)
0(x-y) + 1(x+z-1) = 0 ====> x = 1-z
Grazie
Trovato l'errore, non vanno considerati i parametri l e j non dipendenti dalle componenti spaziali!
per questo risulta j = 2l!
per questo risulta j = 2l!
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