Geometria sfera nello spazio

[schatz]

Salve a tutti ragazzi..vi chiedo un aiuto per questo esercizio vi prego è importante!


-Fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale, si considerino il piano pigreco:3x-4y-20 =0 ed il punto A(4.-2.1)
(i) Rappresentare la retta per A ortogonale a pigreco.
(ii) Rappresentare la sfera tangente a pigreco in A ed avente centro su x-y+z=0
(iii)Dire per quale valore del parametro t tale sfera è tangente al piano 4x-3z+t=0


I punti più critici sono il (ii) e il (iii).

Grazie tante.

[Sk_Anonymous]

i)Le equazioni cartesiane della retta sono:
$(((x-4)/3=-(y+2)/4),(z=1))$
Oppure in forma paramerica:
$((x=t),(y=-4/3t+(10)/3),(z=1))$
ii)Il centro C della sfera e' l'intersezione della retta di cui a punto (i)
col piano $x-y+z=0$
Sostituendo in questo le equazioni parametrica della retta si ha:
$t+4/3t-(10)/3+1=0-->t=1$.Pertanto e' C(1,2,1).Inoltre:
raggio=$bar(CA)=sqrt((4-1)^2+(2+2)^2+(1-1))=5$
Ne segue che l'equazione della sfera e':
$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=25$
iii) Perche' la sfera sia tangente al piano dato deve verificarsi che la conica
intersezione di tale piano con la sfera sia degenere (ovvero si spezzi in due rette)
Pertanto sara' sufficiente eliminare dal sistema tra la sfera ed il piano dato
la variabile z ( ad esempio) per avere l'equazione della conica proiezione
sul piano xy della conica intersezione.
Imponendo poi che sia nullo il determinante della matrice associata a tale conica,
si otterranno i valori di t cercati.Salvo errori dovrebbe essere $t=-1+-sqrt(527)$
Ma non garantisco,meglio che ti rivedi i calcoli nuovamente.
karl