Geometria: Rette e Piani nello Spazio

[testoni1]

Salve a tutti volevo sapere se la risoluzione di questo esercizio secondo voi è giusta.
Sia r una retta di equazione $\{(x-2y+z=1),(-x+z=0):}$
e -y+z=h+1 un piano in unzione di h.

1) determinare h affinche la retta r giace su piano,

2) determinare h affinche l'intersezione tra retta e piano è vuota.

3) determinare il parametro k della retta s $\{(-x+(k+1)y-z=1),(-2x+2y=k+1):}$ affinche l'intersezione tra s e r è vuota.

4) distanza retta r origine.


1) la retta r giace sul piano se, scelti due punti qualsiasi sulla retta r, tali punti appartengono anche al piano:

A(1, 1/2, 1) B(0, -1/2, 0) tali punti appartengono alla retta r.

sostituisco i punti nel piano ricavando h: -1/2 +1=h+1 -> h=-1/2 1/2 =h+1 --> h=-1/2 quindi se h=-1/2 allora r giace sul piano di equazione -y+z-1/2=0.

2) se h != -1/2 alora l'intersezione è vuota!


3) se metto a sistema la retta r e la retta s in funzione del parametro mi trovo un loro punto di intersezione in funzione del parametro k.

$\{(-x+(k+1)y-z=1),(-2x+2y=k+1),(x-2y+z=1),(-x+z=0):}$
risolvendo il sistema trovo che
x=z
-2x+2y-k-1=0
-x+(k+1)y-x-1=0
x-2y+x-1=0 quindi y=x-1/2
quindi sostituendo trovo che k=-2
se k=-2 allora avremo che le due rette si incontrano nel punto (-1/6 , -4/6 , -1/6) se invece k!= -2 allora l'intersezione tra le due rette è vuota!

4) trovo un piano perpendicolare alla retta passante per l'origine e poi faccio distanza punto punto

equazione parametrica di r = (x y z)=(0 -1/2 0)+t(1, 1, 1) quindi il piano perpendicolare a r passante per l'origine è -x-y-z=0 metto a sistema il piano e la retta e trovo che t=1/6 quindi il punto di intersezione tra retta e piano è (1/6 -1/3 1/6 ) ora faccio la norma e trovo che la distanza è rarice di 1/6