Geometria proiettiva:concetti poco chiari
ciao a tutti,volevo sapere se qualcuno può aiutarmi a capire la definizione di spazio proiettivo e il senso geometrico dell'omogeneizzazione dei sistemi
1)Il mio professore ha cominciato con un'introduzione informale dell'argomento,dicendo che (a quanto ho capito) nella geometria proiettiva si considerano le proiezioni delle varietà affini su uno schermo "disposto a distanza infinita"; ad esempio se ho una retta affine $P+\alphav$ (con $P$ punto,$\alpha in RR$,$v$ vettore),essa è associata a un punto nello spazio proiettivo $Q=P+\infty*v$ (non ha usato ovviamente questo tipo di scrittura,la uso io per chiarire meglio cosa ho capito).
Tuttavia non capisco bene il nesso con la definizione formale dataci in seguito
Definizione:SPAZIO PROIETTIVO COMPLETO ASSOCIATO A V
è l'insieme $S(V):={W:W<=V}$,reticolo rispetto a intersezione e somma di sottospazi e parzialmente ordinato tramite la relazione di inclusione
Definizione:SPAZIO PROIETTIVO
un insieme $S$ dotato di una biiezione $\alpha:S(V)->S$ si dice spazio proiettivo completo di sottospazio vettoriale sottostante $V$
Ho dato una mia interpretazione di come la prima definizione possa essere collegata al concetto espresso nell'introduzione del mio professore (mentre per la seconda definizione brancolo nel buio).
Guardo solo i punti dello spazio proiettivo:ogni punto dello spazio proiettivo è proiezione di una retta passante per l'origine;infatti tra 2 punti (l'origine e un punto seppur "lontanissimo") passa un'unica retta.
Inoltre per ogni retta affine passante per l'origine,è definito in modo unico in sottospazio direttore $$. Quindi posso vedere le seguenti corrispondenze
$text{punti del proiettivo} harr text{rette per l'origine} harr text{sottosp.vett. dim=1}$
e quindi posso identificare i punti del proiettivo con l'insieme ${W:W<=V,dim(W)=1}$
Ragiono analogamente per rette,piani etc.. del proiettivo.
E' corretto il mio ragionamento?
E come collego ciò alla seconda definizione?
2)Algebricamente il procedimento mi è chiaro:
se ho un sistema $Ax=b$ (intersezione di varietà affini) senza soluzione,un modo per trovare certamente soluzioni è omogeneizzare il sistema: aggiungo una coordinata $x_0$ e scrivo il sistema nell forma $Ax-bx_0=0$;in questo modo il sistema ha sempre soluzione (almeno quella banale),e l'insieme delle soluzioni sarà un sottospazio di $K^(n+1)$.
Dal punto di vista geometrico non mi è chiaro cosa stia avvenendo.
Vi riporto un esercizio cosiccome è stato spiegato dal professore:
il sistema in $A^2$
(1):$\{(x+y=1),(x+y=0):}$ è intersezione di 2 rette,e non ha soluzione
aggiungendo un variabile $z$ passo in $RR^3=P^2(RR)$,e ottengo il sistema
(2):$\{(x+y-z=0),(x+y=0):}$
(1) corrisponde (2) studiato sul piano $z=1$
Praticamente ora sto considerando un'intersezione di piani passanti per l'origine del sistema di riferimento $(z,x,y)$ e che, intersecando il piano $z=1$, formano le 2 rette considerate in (1)
(2) ora ha soluzione,cioè $<((0),(1),(-1))>$
Ora disomogenizzo il sistema dividendo per la variabile $x$
(3):$\{(x/x+y/x-z/x=0),(x/x+y/x=0):}=\{(\eta-\theta=-1),(\theta=-1):}$ che ha soluzione $<((0),(-1))>$
disomogeneizzare corrisponde a considerare (2) ristretto non a $z=1$ ma a un'altro piano tale che il nuovo sistema abbia soluzione
Non capisco proprio cosa si intenda con la frase "passo da $A^2$ in $RR^3=P^2(RR)$"
Inoltre non capisco il senso di tale procedimento. Qual'è il vantaggio di "cambiare ambiente" per avere sistemi risolvibili? A me sembra solo un modo comodo per non avere sistemi impossibili.Me lo spiegate?
1)Il mio professore ha cominciato con un'introduzione informale dell'argomento,dicendo che (a quanto ho capito) nella geometria proiettiva si considerano le proiezioni delle varietà affini su uno schermo "disposto a distanza infinita"; ad esempio se ho una retta affine $P+\alphav$ (con $P$ punto,$\alpha in RR$,$v$ vettore),essa è associata a un punto nello spazio proiettivo $Q=P+\infty*v$ (non ha usato ovviamente questo tipo di scrittura,la uso io per chiarire meglio cosa ho capito).
Tuttavia non capisco bene il nesso con la definizione formale dataci in seguito
Definizione:SPAZIO PROIETTIVO COMPLETO ASSOCIATO A V
è l'insieme $S(V):={W:W<=V}$,reticolo rispetto a intersezione e somma di sottospazi e parzialmente ordinato tramite la relazione di inclusione
Definizione:SPAZIO PROIETTIVO
un insieme $S$ dotato di una biiezione $\alpha:S(V)->S$ si dice spazio proiettivo completo di sottospazio vettoriale sottostante $V$
Ho dato una mia interpretazione di come la prima definizione possa essere collegata al concetto espresso nell'introduzione del mio professore (mentre per la seconda definizione brancolo nel buio).
Guardo solo i punti dello spazio proiettivo:ogni punto dello spazio proiettivo è proiezione di una retta passante per l'origine;infatti tra 2 punti (l'origine e un punto seppur "lontanissimo") passa un'unica retta.
Inoltre per ogni retta affine passante per l'origine,è definito in modo unico in sottospazio direttore $
$text{punti del proiettivo} harr text{rette per l'origine} harr text{sottosp.vett. dim=1}$
e quindi posso identificare i punti del proiettivo con l'insieme ${W:W<=V,dim(W)=1}$
Ragiono analogamente per rette,piani etc.. del proiettivo.
E' corretto il mio ragionamento?
E come collego ciò alla seconda definizione?
2)Algebricamente il procedimento mi è chiaro:
se ho un sistema $Ax=b$ (intersezione di varietà affini) senza soluzione,un modo per trovare certamente soluzioni è omogeneizzare il sistema: aggiungo una coordinata $x_0$ e scrivo il sistema nell forma $Ax-bx_0=0$;in questo modo il sistema ha sempre soluzione (almeno quella banale),e l'insieme delle soluzioni sarà un sottospazio di $K^(n+1)$.
Dal punto di vista geometrico non mi è chiaro cosa stia avvenendo.
Vi riporto un esercizio cosiccome è stato spiegato dal professore:
il sistema in $A^2$
(1):$\{(x+y=1),(x+y=0):}$ è intersezione di 2 rette,e non ha soluzione
aggiungendo un variabile $z$ passo in $RR^3=P^2(RR)$,e ottengo il sistema
(2):$\{(x+y-z=0),(x+y=0):}$
(1) corrisponde (2) studiato sul piano $z=1$
Praticamente ora sto considerando un'intersezione di piani passanti per l'origine del sistema di riferimento $(z,x,y)$ e che, intersecando il piano $z=1$, formano le 2 rette considerate in (1)
(2) ora ha soluzione,cioè $<((0),(1),(-1))>$
Ora disomogenizzo il sistema dividendo per la variabile $x$
(3):$\{(x/x+y/x-z/x=0),(x/x+y/x=0):}=\{(\eta-\theta=-1),(\theta=-1):}$ che ha soluzione $<((0),(-1))>$
disomogeneizzare corrisponde a considerare (2) ristretto non a $z=1$ ma a un'altro piano tale che il nuovo sistema abbia soluzione
Non capisco proprio cosa si intenda con la frase "passo da $A^2$ in $RR^3=P^2(RR)$"
Inoltre non capisco il senso di tale procedimento. Qual'è il vantaggio di "cambiare ambiente" per avere sistemi risolvibili? A me sembra solo un modo comodo per non avere sistemi impossibili.Me lo spiegate?
Risposte
Nonostante sia ormai un bel po' che mi interesso di geometria proiettiva, non avevo mai visto quella definizione almeno non nell'accezione in cui l'hai scritta.
La definizione classica di proiettivo, e a mio parere il modo in cui io visualizzo il proiettivo di uno spazio vettoriale $V$ su un campo $k$ è il quoziente (insiemistico, almeno per ora senza alcuna struttura sopra)
\[
\mathbb{P} V = (V - \{ 0\})/ \sim
\]
Dove $~$ è la relazione che identifica due vettori non nulli di $V$ se questi sono uno multiplo dell'altro. Questo in sostanza vuol dire "piazzati nell'origine di $V$ e guarda le rette che passano da lì, senza curarti del verso in cui vanno".
Tuttavia, confesso di non capire la definizione di spazio proiettivo completo.
Notiamo una cosa importante. Le applicazioni affini e in generale le mappe polinomiali su $V$ definiscono in effetti funzioni su $V$, ma non sul quoziente, perché una mappa polinomiale in generale si guarda bene dall'essere invariante per scalari (in realtà non lo è mai, a meno che non sia costante). Tuttavia, nel caso di mappe omogenee (polinomi omogenei, o applicazioni lineari), sebbene la mappa non sia invariante per scalari, il suo luogo degli zeri lo è. Perciò si può dire che una applicazione lineare è zero (o non è zero) su una retta per l'origine, e quindi su un punto del proiettivo.
Tuttavia, se una mappa lineare ha solo la soluzione nulla, significa che non ha zeri nel proiettivo, in quanto l'origine viene buttata via prima di quozientare.
Il motivo per cui è "meglio" lavorare nel proiettivo viene fuori quando si introducono le nozioni di topologia. Infatti, viene fuori che il proiettivo è un compatto, con tutte le belle cose che si portano dietro i compatti. Inoltre, se pensiamo alle cose in $\RR^n$ (o meglio in $\CC^n$), si vede che quozientare $V$ meno l'origine su quella $\sim$ è la stessa cosa di quozientare la sfera di $V$ sulla sua mappa antipodale. In pratica, si possono studiare gli zeri di una mappa su tutto $\RR^n$ andandoli vedere solo sulla sfera, anzi su metà sfera.
Quando si introducono i proiettivi non si capisce quale è la loro utilità, perché sempra solo un modo per complicarsi la vita. Ma topologicamente il vantaggio credo che si percepisca anche quando vengono introdotti.
La definizione classica di proiettivo, e a mio parere il modo in cui io visualizzo il proiettivo di uno spazio vettoriale $V$ su un campo $k$ è il quoziente (insiemistico, almeno per ora senza alcuna struttura sopra)
\[
\mathbb{P} V = (V - \{ 0\})/ \sim
\]
Dove $~$ è la relazione che identifica due vettori non nulli di $V$ se questi sono uno multiplo dell'altro. Questo in sostanza vuol dire "piazzati nell'origine di $V$ e guarda le rette che passano da lì, senza curarti del verso in cui vanno".
Tuttavia, confesso di non capire la definizione di spazio proiettivo completo.
Notiamo una cosa importante. Le applicazioni affini e in generale le mappe polinomiali su $V$ definiscono in effetti funzioni su $V$, ma non sul quoziente, perché una mappa polinomiale in generale si guarda bene dall'essere invariante per scalari (in realtà non lo è mai, a meno che non sia costante). Tuttavia, nel caso di mappe omogenee (polinomi omogenei, o applicazioni lineari), sebbene la mappa non sia invariante per scalari, il suo luogo degli zeri lo è. Perciò si può dire che una applicazione lineare è zero (o non è zero) su una retta per l'origine, e quindi su un punto del proiettivo.
Tuttavia, se una mappa lineare ha solo la soluzione nulla, significa che non ha zeri nel proiettivo, in quanto l'origine viene buttata via prima di quozientare.
Il motivo per cui è "meglio" lavorare nel proiettivo viene fuori quando si introducono le nozioni di topologia. Infatti, viene fuori che il proiettivo è un compatto, con tutte le belle cose che si portano dietro i compatti. Inoltre, se pensiamo alle cose in $\RR^n$ (o meglio in $\CC^n$), si vede che quozientare $V$ meno l'origine su quella $\sim$ è la stessa cosa di quozientare la sfera di $V$ sulla sua mappa antipodale. In pratica, si possono studiare gli zeri di una mappa su tutto $\RR^n$ andandoli vedere solo sulla sfera, anzi su metà sfera.
Quando si introducono i proiettivi non si capisce quale è la loro utilità, perché sempra solo un modo per complicarsi la vita. Ma topologicamente il vantaggio credo che si percepisca anche quando vengono introdotti.
"Pappappero":
La definizione classica di proiettivo, e a mio parere il modo in cui io visualizzo il proiettivo di uno spazio vettoriale $V$ su un campo $k$ è il quoziente (insiemistico, almeno per ora senza alcuna struttura sopra)
\[
\mathbb{P} V = (V - \{ 0\})/ \sim
\]
Dove $~$ è la relazione che identifica due vettori non nulli di $V$ se questi sono uno multiplo dell'altro. Questo in sostanza vuol dire "piazzati nell'origine di $V$ e guarda le rette che passano da lì, senza curarti del verso in cui vanno".
Capito. Correggimi se sbaglio,mi sa che questa definizione è quella che mi è stata data per lo spazio proiettivo punteggiato. Infatti mi hanno definito come spazio proiettivo punteggiato l'insieme ${W<=V:dim(W)=1}$. E' errato dire che la tua definizione di spazio proiettivo e la mia di spazio proiettivo punteggiato coincidono?
"Pappappero":
Perciò si può dire che una applicazione lineare è zero (o non è zero) su una retta per l'origine, e quindi su un punto del proiettivo.
scusa ma quindi $text{rette nell'affine}=text{punti nel proiettivo}$,$text{piani nell'affine}=text{rette nel proiettivo}$ e così via?poi,posso capire questa associazione,ma non riesco a figurarlo "geometricamente". Per me il proiettivo resta un insieme di classi di equivalenza (o sottospazi,secondo la definizione del mio prof) e mi riesce davvero innaturale trattarli come rette e piani.
"Pappappero":
Inoltre, se pensiamo alle cose in $\RR^n$ (o meglio in $\CC^n$), si vede che quozientare $V$ meno l'origine su quella $\sim$ è la stessa cosa di quozientare la sfera di $V$ sulla sua mappa antipodale. In pratica, si possono studiare gli zeri di una mappa su tutto $\RR^n$ andandoli vedere solo sulla sfera, anzi su metà sfera.
questo discorso mi è stato più o meno fatto,anche se non in modo rigoroso ma intuitivo; il mio professore ha posto più l'accento sul fatto che possiamo trattare cose "all'infinito" usando il proiettivo.
Si...il proiettivo e' l'insieme delle rette per l'origine.
La corrispondenza rette in $V$ <-> punti in $\mathbb{P} V$, piani in $V$ <-> rette in $\mathbb{P}V$ e cosi' via e' corretta. Per visualizzarla io farei cosi'. Andiamo nell'origine e da li' pensiamo che ci sia uno schermo sferico all'infinito (una specie di cielo delle stelle fisse). Un punto di questo schermo, definisce una retta per l'origine (la linea che va dai nostri occhi al punto sullo schermo). Questo e' il proiettivo (facendo attenzione che se guardiamo un punto o il suo antipodale otteniamo la stessa retta).
Ora pensiamo ai piani: immaginiamo di guardare un retta sul nostro schermo (una specie di meridiano sul cielo delle stelle fisse). Questa retta determina un piano passante per l'origine (basta prendere due punti distinti sulla retta e l'origine e considerare il piano per quei tre punti). Questo e' un piano nell'affine, e corrispondentemente una retta nel proiettivo (ancora, il meridiano gira tutto attorno, quindi se ci otteniamo di nuovo la stessa retta).
Insomma, io mi sono sempre trovato meglio pensando le cose con la sfera piuttosto che con tutto l'affine perche' devi visualizzare meno punti.
La corrispondenza rette in $V$ <-> punti in $\mathbb{P} V$, piani in $V$ <-> rette in $\mathbb{P}V$ e cosi' via e' corretta. Per visualizzarla io farei cosi'. Andiamo nell'origine e da li' pensiamo che ci sia uno schermo sferico all'infinito (una specie di cielo delle stelle fisse). Un punto di questo schermo, definisce una retta per l'origine (la linea che va dai nostri occhi al punto sullo schermo). Questo e' il proiettivo (facendo attenzione che se guardiamo un punto o il suo antipodale otteniamo la stessa retta).
Ora pensiamo ai piani: immaginiamo di guardare un retta sul nostro schermo (una specie di meridiano sul cielo delle stelle fisse). Questa retta determina un piano passante per l'origine (basta prendere due punti distinti sulla retta e l'origine e considerare il piano per quei tre punti). Questo e' un piano nell'affine, e corrispondentemente una retta nel proiettivo (ancora, il meridiano gira tutto attorno, quindi se ci otteniamo di nuovo la stessa retta).
Insomma, io mi sono sempre trovato meglio pensando le cose con la sfera piuttosto che con tutto l'affine perche' devi visualizzare meno punti.
ok dai penso di esserci....invece sapresti dirmi qualcosa di più sulla omogenizzazione di sistemi?
mmm...si aggiunge una indeterminata per lavorare con il sistema omogeneo invece che con quello non omogeneo..XD
Scherzi a parte, per come hai posto la domanda non so da dove partire per rispondere. Se dai qualche informazione in piu' sui tuoi dubbi, magari riusciamo a capire cosa non ti e' chiaro.
Scherzi a parte, per come hai posto la domanda non so da dove partire per rispondere. Se dai qualche informazione in piu' sui tuoi dubbi, magari riusciamo a capire cosa non ti e' chiaro.
nel primo messaggio che ho scritto ho fatto un esempio di come il mio professore ha omogeneizzato e poi disomogeneizzato il sistema,mi ha spiegato un po il senso geometrico (quello che ho capito l'ho scritto più su 
),ma mi sfugge l'utilità della procedura...sembra solo un imbroglio per passare (ttraverso un procedimento omogenizzazione-disomogenizzazione)da un sistema a n incognite senza soluzione a un altro sempre a n incognite risolvibile..
),ma mi sfugge l'utilità della procedura...sembra solo un imbroglio per passare (ttraverso un procedimento omogenizzazione-disomogenizzazione)da un sistema a n incognite senza soluzione a un altro sempre a n incognite risolvibile..
Nel sistema del primo post c'è un errore. Infatti il vettore $(0,1,-1)$ che trovi non risolve il sistema omogeneizzato, perché non soddisfa la seconda equazione. Non vorrei dire fesserie, ma l'unica soluzione la puoi trovare con $z=0$ e in quel caso hai qualcosa tipo $(-1,1,0)$ (e qualunque vettore nel suo span).
ah scusa,non ho chiarito in che ordine ho preso le coordinate: le ho prese nell'ordine $(z,x,y)$,quindi se non sbaglio la soluzione è corretta
in origine le variabili si chiamavano $(x_1,x_2)$ e aggiungevo $x_0$,ma tutti quegli indici mi davano noia e le ho rinominate,da cui l'ambiguità sull'ordine in cui le ho prese,scusa
comunque più che l'eserciio in se mi interessava l'utilità del procedimento in generale
in origine le variabili si chiamavano $(x_1,x_2)$ e aggiungevo $x_0$,ma tutti quegli indici mi davano noia e le ho rinominate,da cui l'ambiguità sull'ordine in cui le ho prese,scusa
comunque più che l'eserciio in se mi interessava l'utilità del procedimento in generale
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