Geometria proiettiva "on the field"
Ultimamente stavo riflettendo un po' sulla geometria proiettiva, che per me ha rappresentato un esame all'università e poi è finita nel dimenticatoio. E invece sto avendo l'impressione che le trasformazioni proiettive sono un oggetto più comune di quanto pensassi, ma non riesco a formalizzare bene questo concetto.
Prendiamo un esempio:
Se uno vuole trasformare l'intervallo $[0, 1)$ in un qualunque intervallo $[a, b)$, si rivolge immediatamente alla trasformazione $(1-t)b+ta$. Questa è in effetti (la restrizione di) una trasformazione affine, ovvero una traformazione che commuta con le combinazioni convesse oppure, se preferite, una traformazione lineare composta con una traslazione.
Facciamo un discorso analogo al precedente sostituendo $[a, infty)$ ad $[a, b)$. Vogliamo una trasformazione, la più semplice possibile, di $[0, 1)$ in $[a, infty)$. Naturalmente le trasformazioni affini non servono più, dal momento che manderanno sempre $1$ in un punto "al finito". E però la soluzione più semplice, la $t\in[0, 1) \mapsto t/(1-t)$, è troppo simile al caso precedente per non sospettare che si possa trattare di qualcosa di analogo ad una affinità, possibilmente una proiettività.
Mi sbaglio? $t/(1-t)$ è una proiettività della retta proiettiva? Se sì, quale?
Prendiamo un esempio:
Se uno vuole trasformare l'intervallo $[0, 1)$ in un qualunque intervallo $[a, b)$, si rivolge immediatamente alla trasformazione $(1-t)b+ta$. Questa è in effetti (la restrizione di) una trasformazione affine, ovvero una traformazione che commuta con le combinazioni convesse oppure, se preferite, una traformazione lineare composta con una traslazione.
Facciamo un discorso analogo al precedente sostituendo $[a, infty)$ ad $[a, b)$. Vogliamo una trasformazione, la più semplice possibile, di $[0, 1)$ in $[a, infty)$. Naturalmente le trasformazioni affini non servono più, dal momento che manderanno sempre $1$ in un punto "al finito". E però la soluzione più semplice, la $t\in[0, 1) \mapsto t/(1-t)$, è troppo simile al caso precedente per non sospettare che si possa trattare di qualcosa di analogo ad una affinità, possibilmente una proiettività.
Mi sbaglio? $t/(1-t)$ è una proiettività della retta proiettiva? Se sì, quale?
Risposte
proiettivizziamo la retta: avrò coordinate omogenee $[t,x]$ con $[0,1]$ punto all'infinito, la tua funzione manda $[1,x]->[1,x/(1-x)]$ la funzione scritta così ha due problemi (so che non era tua intenzione usarla così 
): non è definita in x=1 e non è omogenea, allora e perdonami i procedimenti poco rigorosi moltiplico per 1-x così ottengo la stessa funzione praticamente ovunque (direi per continuità la stessa funzione lascio a te verificare se abbia senso io non ne sono sicuro)
$[1,x]->[1-x,x]$ e poi omogenizzo (si scrive così?) il tutto $[t,x]->[t-x,x]$
ora la tua funzione mandava l'origine nell'origine e 1 in infinito e la nostra
$[1,0]->[1,0]$ e $[1,1]->[0,1]$ quindi funziona tutto mi pare
non so se è soddisfacente io vado sempre un po' a naso in queste cose
): non è definita in x=1 e non è omogenea, allora e perdonami i procedimenti poco rigorosi moltiplico per 1-x così ottengo la stessa funzione praticamente ovunque (direi per continuità la stessa funzione lascio a te verificare se abbia senso io non ne sono sicuro)$[1,x]->[1-x,x]$ e poi omogenizzo (si scrive così?) il tutto $[t,x]->[t-x,x]$
ora la tua funzione mandava l'origine nell'origine e 1 in infinito e la nostra
$[1,0]->[1,0]$ e $[1,1]->[0,1]$ quindi funziona tutto mi pare
non so se è soddisfacente io vado sempre un po' a naso in queste cose
Certo che è soddisfacente. Quello che mi piacerebbe venisse fuori da questo topic non è un risultato formale ma una idea intuitiva delle proiettività spendibile fuori dal contesto della geometria proiettiva. E mi pare che il tuo intervento centri il bersaglio.
Infatti, da un punto di vista esclusivamente analitico, una proiettività di $\mathbb{P}^n(RR)$ (lo prendo reale, ma va bene pure complesso) in fondo è una mappa $T: [X_0, X_1, ..., X_n]\mapsto[P_0(X_0,...,X_n), ..., P_n(X_0,..., X_n)]$ dove i $P_i$ sono polinomi omogenei. Dividendo per $P_0$ e tornando alle coordinate non omogenee $x_1=(X_1/X_0), ..., x_n=(X_n/X_0)$ (*) otteniamo la restrizione di $T$ ai soli punti al finito: $(x_1,...,x_n)\mapsto(R_1(x_1,..., x_n), ..., R_n(x_1, ..., x_n))$ dove le $R_n$ sono funzioni razionali con lo stesso denominatore.
Questa funzione non è definita ovunque, come notavi tu prima, e questo è chiaro: infatti tutto un iperpiano di $RR^n$ (punti al finito) "annulla i denominatori" e viene trasformato nell'iperpiano dei punti all'infinito.
_______________________________
(*) Uso la stessa convenzione tua in fatto di punti all'infinito: i punti all'infinito sono quelli con $X_0=0$.
Infatti, da un punto di vista esclusivamente analitico, una proiettività di $\mathbb{P}^n(RR)$ (lo prendo reale, ma va bene pure complesso) in fondo è una mappa $T: [X_0, X_1, ..., X_n]\mapsto[P_0(X_0,...,X_n), ..., P_n(X_0,..., X_n)]$ dove i $P_i$ sono polinomi omogenei. Dividendo per $P_0$ e tornando alle coordinate non omogenee $x_1=(X_1/X_0), ..., x_n=(X_n/X_0)$ (*) otteniamo la restrizione di $T$ ai soli punti al finito: $(x_1,...,x_n)\mapsto(R_1(x_1,..., x_n), ..., R_n(x_1, ..., x_n))$ dove le $R_n$ sono funzioni razionali con lo stesso denominatore.
Questa funzione non è definita ovunque, come notavi tu prima, e questo è chiaro: infatti tutto un iperpiano di $RR^n$ (punti al finito) "annulla i denominatori" e viene trasformato nell'iperpiano dei punti all'infinito.
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(*) Uso la stessa convenzione tua in fatto di punti all'infinito: i punti all'infinito sono quelli con $X_0=0$.
Scrivo questo specchietto totalmente informale riguardo trasformazioni lineari, affini e proiettive in $RR^2$ (andrebbe bene un $RR^n$ qualunque ma così almeno possiamo visualizzarci meglio il tutto):
Sia $T:RR^2\toRR^2$.
a) $T$ è una trasformazione lineare se la sua espressione analitica è del tipo $T(x, y)=(ax+by, cx+dy)$ (polinomi omogenei di primo grado);
b) $T$ è una trasformazione affine se la sua espressione analitica è del tipo $T(x, y)=(p+ax+by, q+cx+dy)$ (polinomi di primo grado, non necessariamente omogenei);
c) $T$ è una trasformazione proiettiva se la sua espressione analitica è del tipo $T(x, y)=((p+ax+by)/(alpha+betax+gammay), (q+cx+dy)/(alpha+betax+gammay))$.
Una cosa carina di questa "classificazione": adesso è facile stabilire quando una $T$ con una di queste forme è invertibile nel proprio insieme di definizione (che può non essere tutto $RR^2$ per le trasformazioni proiettive). Infatti questo accade se e solo se il determinante
$det((alpha, beta, gamma), (p, a, b), (q, c, d))!=0$ (intendendo $p, q=0$ per le trasformazioni lineari e $alpha+betax+gammay=1$ per le trasformazioni lineari e affini).
Sia $T:RR^2\toRR^2$.
a) $T$ è una trasformazione lineare se la sua espressione analitica è del tipo $T(x, y)=(ax+by, cx+dy)$ (polinomi omogenei di primo grado);
b) $T$ è una trasformazione affine se la sua espressione analitica è del tipo $T(x, y)=(p+ax+by, q+cx+dy)$ (polinomi di primo grado, non necessariamente omogenei);
c) $T$ è una trasformazione proiettiva se la sua espressione analitica è del tipo $T(x, y)=((p+ax+by)/(alpha+betax+gammay), (q+cx+dy)/(alpha+betax+gammay))$.
Una cosa carina di questa "classificazione": adesso è facile stabilire quando una $T$ con una di queste forme è invertibile nel proprio insieme di definizione (che può non essere tutto $RR^2$ per le trasformazioni proiettive). Infatti questo accade se e solo se il determinante
$det((alpha, beta, gamma), (p, a, b), (q, c, d))!=0$ (intendendo $p, q=0$ per le trasformazioni lineari e $alpha+betax+gammay=1$ per le trasformazioni lineari e affini).
Approfitto dell'occasione: una volta per tutte, che legame esiste tra le proiettività e le trasformazioni razionali?
Ho consultato il super-classico Klein Elementary mathematics from an advanced standpoint: Geometry. Nel capitolo Projective transformations c'è una prima introduzione alle trasformazioni proiettive dello spazio $RR^3$ come (il sottolineato è mio):
In seguito vengono date varie caratterizzazioni delle trasformazioni proiettive ma mi pare che già qui abbiamo una risposta: perché una trasformazione razionale, [size=75][i.e. (detto alla buona) una mappa di $RR^n$ in $RR^n$ definita su ogni componente da una funzione razionale][/size] sia una proiettività è necessario che i denominatori siano tutti uguali.
Come esempio prenderei la mappa $T(x, y)=(x/(x-1), y/(y-1))$, definita su $RR^2$ meno le due rette $x=1, y=1$. Questa non può essere una proiettività: se infatti omogeneizziamo le coordinate mediante le posizioni
$x=(X_1)/(X_0), y=(X_2)/(X_0)$, otteniamo la trasformazione del piano proiettivo in sé
$bar(T)[X_0:X_1:X_2]=[(X_1-X_0)(X_2-X_0): X_1: X_2]$ che non è evidentemente una proiettività in quanto ha una entrata di secondo grado. Sarebbe carino esaminare graficamente l'azione di $T$ su una griglia di $RR^2$: probabilmente riusciremmo a trovare qualche retta che non viene trasformata in una retta.
We now take $x', y', z'$ no longer as integral, but as fractional linear functions of $x, y, z$ but with the condition, which is essential, that they all have the same denominator.
In seguito vengono date varie caratterizzazioni delle trasformazioni proiettive ma mi pare che già qui abbiamo una risposta: perché una trasformazione razionale, [size=75][i.e. (detto alla buona) una mappa di $RR^n$ in $RR^n$ definita su ogni componente da una funzione razionale][/size] sia una proiettività è necessario che i denominatori siano tutti uguali.
Come esempio prenderei la mappa $T(x, y)=(x/(x-1), y/(y-1))$, definita su $RR^2$ meno le due rette $x=1, y=1$. Questa non può essere una proiettività: se infatti omogeneizziamo le coordinate mediante le posizioni
$x=(X_1)/(X_0), y=(X_2)/(X_0)$, otteniamo la trasformazione del piano proiettivo in sé
$bar(T)[X_0:X_1:X_2]=[(X_1-X_0)(X_2-X_0): X_1: X_2]$ che non è evidentemente una proiettività in quanto ha una entrata di secondo grado. Sarebbe carino esaminare graficamente l'azione di $T$ su una griglia di $RR^2$: probabilmente riusciremmo a trovare qualche retta che non viene trasformata in una retta.
"killing_buddha":
Approfitto dell'occasione: una volta per tutte, che legame esiste tra le proiettività e le trasformazioni razionali?
io direi che una proiettività è una trasformazione razionale, non è sempre vero il viceversa ad esempio $omega:mathbb{P}^2->mathbb{P}^2$ definita $omega("["x_0,x_1,x_2"]")=[x_1*x_2,x_0*x_2,x_1*x_0]$ è una trasformazione razionale ma non una proiettività (ci sono tre rette che vengono contratte in punti). se non ti basta possiamo postare qualche definizione e provare a fare qualche verifica. non sono sicuro al 100% prendi tutto con le molle e casomai dimmi cosa intendi te per trasformazione razionale altrimenti prendo come riferimento l'Hartshorne sperando di raccapezzarmi
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