Geometria Proiettiva e curve algebriche
Salve forum!
Sto studiando un po' di Geometria Proiettiva (come forse si intuisce dal mio avatar) e curve algebriche
Ho incontrato oggi un problema che non avevo mai visto, e vorrei capire se la mia soluzione è corretta.
Problema. Sia $C:y-x^3=0$ una curva cubica affine (non dice il campo, suppongo sia $\mathbb{C}$)
1.Se ne trovi la chiusura proiettiva $K$ e l'unico punto singolare $P_0$.
2.Sia ora in $\mathbb{P}^2$ la retta proiettiva $L$ di equazione $x_2=0$. Prendasi $Q \in L$ e si diano le equazioni parametriche o cartesiane della retta $\Lambda(Q,P_0)$ passante per $Q$ e $P_0$.
3.Una retta e una cubica si intersecano in tre punti, abbiamo $\Lambda(Q,P) \cap K = 2P_0+A$, ovvero succede che $P_0$ ha molteplicità almeno $2$. Determinare le coordinate di $A$ in funzione delle coordinate omogenee di $Q$.
4.Abbiamo quindi una funzione $\pi:L \rightarrow K$ mandando $Q$ in $A$. Descrivere il luogo $\pi^{-1}(C) \subset L$
5.Verificare che il complementare $L \setminus \pi^{-1}(C)=\pi^{-1}(P_0)$.
6.Provare che $\pi$ è iniettiva e suriettiva.
Soluzione.
1. $\overline{C}=K:x_2x_0^2-x_1^3=0$, $P_0=[0:0:1]$
2. $Q=[a:b:0]$. Scelgo le cartesiane: $\Lambda(Q,P_0)={bx_0-ax_1=0}$
3.Qui iniziano i miei dubbi. Chi mi garantisce che la retta intersechi la cubica in $P_0$ con molteplicità $2$? E' forse perché è un punto singolare? Me ne accorgo dopo, mentre svolgo i calcoli, ma v'è metodo per saperlo a priori, come sembra sottintendere l'enunciato?
Comunque, vado avanti con la soluzione: $\Lambda(Q,P_0) \cap K=[a^3:a^2b:b^3]$.
4.Legittimamente $\pi$ è una funzione perché il punto risultante dall'intersezione ha coordinate omogenee. $\pi^{-1}(C)$ è il luogo dei punti che ha coordinate omogenee con ${x_0 \ne 0}$, quindi posso prendere il punto $Q$ e rinominare le sue coordinate $\frac{b}{a}=c \Rightarrow Q=[1:c:0]$. Così la funzione $\pi$ mappa il punto $Q$ nel punto sulla cubica di coordinate $[1:c:c^3]=\pi(Q)$ (è sufficiente come descrizione?)
5.Il complementare di quest'insieme deve essere dato dai punti della cubica che hanno ${x_0=0}$, ma questi sono i punti all'infinito e hanno tutti coordinate omogenee $[0:0:1]=P_0$ (non trascrivo il conto, è banale).
6.Ora qui: per quanto riguarda $\pi(C)$ posso trattarla come la funzione $y=x^3$ e, visto che è sempre crescente e ovunque definita su $\mathbb{R}$ la funzione è biettiva (troppo analitico?). Per quanto riguarda i punti di $L$ con $x_0=0$ invece , osservo che questi sono della forma $[0:d:0]$, quindi il punto è unico (giustamente: è una retta proiettiva!). L'immagine di quel punto è l'unico punto all'infinito di $K$, quindi la restrizione $\pi|_{[0:d:0]}$ è biettiva.
Ho fatto bene? Ci sono imprecisioni (soprattutto nell'ultimo temo di aver un po' improvvisato). Grazie a chiunque vorrà leggere tutto,
Frink
Sto studiando un po' di Geometria Proiettiva (come forse si intuisce dal mio avatar) e curve algebriche
Ho incontrato oggi un problema che non avevo mai visto, e vorrei capire se la mia soluzione è corretta.
Problema. Sia $C:y-x^3=0$ una curva cubica affine (non dice il campo, suppongo sia $\mathbb{C}$)
1.Se ne trovi la chiusura proiettiva $K$ e l'unico punto singolare $P_0$.
2.Sia ora in $\mathbb{P}^2$ la retta proiettiva $L$ di equazione $x_2=0$. Prendasi $Q \in L$ e si diano le equazioni parametriche o cartesiane della retta $\Lambda(Q,P_0)$ passante per $Q$ e $P_0$.
3.Una retta e una cubica si intersecano in tre punti, abbiamo $\Lambda(Q,P) \cap K = 2P_0+A$, ovvero succede che $P_0$ ha molteplicità almeno $2$. Determinare le coordinate di $A$ in funzione delle coordinate omogenee di $Q$.
4.Abbiamo quindi una funzione $\pi:L \rightarrow K$ mandando $Q$ in $A$. Descrivere il luogo $\pi^{-1}(C) \subset L$
5.Verificare che il complementare $L \setminus \pi^{-1}(C)=\pi^{-1}(P_0)$.
6.Provare che $\pi$ è iniettiva e suriettiva.
Soluzione.
1. $\overline{C}=K:x_2x_0^2-x_1^3=0$, $P_0=[0:0:1]$
2. $Q=[a:b:0]$. Scelgo le cartesiane: $\Lambda(Q,P_0)={bx_0-ax_1=0}$
3.Qui iniziano i miei dubbi. Chi mi garantisce che la retta intersechi la cubica in $P_0$ con molteplicità $2$? E' forse perché è un punto singolare? Me ne accorgo dopo, mentre svolgo i calcoli, ma v'è metodo per saperlo a priori, come sembra sottintendere l'enunciato?
Comunque, vado avanti con la soluzione: $\Lambda(Q,P_0) \cap K=[a^3:a^2b:b^3]$.
4.Legittimamente $\pi$ è una funzione perché il punto risultante dall'intersezione ha coordinate omogenee. $\pi^{-1}(C)$ è il luogo dei punti che ha coordinate omogenee con ${x_0 \ne 0}$, quindi posso prendere il punto $Q$ e rinominare le sue coordinate $\frac{b}{a}=c \Rightarrow Q=[1:c:0]$. Così la funzione $\pi$ mappa il punto $Q$ nel punto sulla cubica di coordinate $[1:c:c^3]=\pi(Q)$ (è sufficiente come descrizione?)
5.Il complementare di quest'insieme deve essere dato dai punti della cubica che hanno ${x_0=0}$, ma questi sono i punti all'infinito e hanno tutti coordinate omogenee $[0:0:1]=P_0$ (non trascrivo il conto, è banale).
6.Ora qui: per quanto riguarda $\pi(C)$ posso trattarla come la funzione $y=x^3$ e, visto che è sempre crescente e ovunque definita su $\mathbb{R}$ la funzione è biettiva (troppo analitico?). Per quanto riguarda i punti di $L$ con $x_0=0$ invece , osservo che questi sono della forma $[0:d:0]$, quindi il punto è unico (giustamente: è una retta proiettiva!). L'immagine di quel punto è l'unico punto all'infinito di $K$, quindi la restrizione $\pi|_{[0:d:0]}$ è biettiva.
Ho fatto bene? Ci sono imprecisioni (soprattutto nell'ultimo temo di aver un po' improvvisato). Grazie a chiunque vorrà leggere tutto,
Frink
Risposte
"Frink":
Chi mi garantisce che la retta intersechi la cubica in $P_0$ con molteplicità $2$? E' forse perché è un punto singolare?
È esattamente così, il fatto che un punto sia singolare ti garantisce che qualsiasi retta passante per \(P_0\) incontra la curva almeno doppiamente. Per motivarti questo fatto dovrei sapere come ti sono stati definiti i punti singolari.
"Frink":
(troppo analitico?)
De gustibus non disputandum
Io avrei dimostrato che \(\displaystyle [a:b:c] \mapsto [a^{1/3} : c^{1/3} : 0] \) è inversa bilatera di \(\pi\), per il resto avrei fatto tutto come te.
Grazie mille!
$P_0$ punto singolare $\iff$ $\nablaC(P_0)=0$, questa è la definizione che ho di punto singolare. Sto cercando una giustificazione della molteplicità ma non la trovo...
Grazie ancora!
$P_0$ punto singolare $\iff$ $\nablaC(P_0)=0$, questa è la definizione che ho di punto singolare. Sto cercando una giustificazione della molteplicità ma non la trovo...
Grazie ancora!
Che succede se sviluppi il polinomio nel punto singolare usando la formula di Taylor?
Dunque, mi verrebbe da pensare a
$K([0:h:1])=K([0:0:1])+\nablaK([0:0:1]) \cdot [0:1:0]+H_K([0:0:1])[0:1:0] \cdot [0:1:0]$
e so che gradiente e polinomio si annullano entrambi in $P_0$. Ma non capisco se va bene come incremento il punto $[0:1:0]$ ad esempio, o come indicare un incremento...
L'Hessiana è singolare, ha determinante $0$ e ultima riga interamente nulla, ma anche qui non capisco come questo mi aiuti...
EDIT: Ho capito! Prendo $f([x_0:x_1:x_2])$ l'equazione del completamento proiettivo della cubica, $P_0=(a:b:c)$ un punto su di esso e prendo come equazione della retta quella parametrica passante per $P_0$ generica, \[r:= \begin{cases} x_0= a+lt \\ x_1=b+mt \\ x_2=c+nt \end{cases}\]Il punto $P_0$ corrisponde a $t=0$ di $g(t)=f(a+ l t ,b+mt,c+nt)$, che ha molteplicità maggiore di uno se e solo se vale anche $g'(0)=0$, ossia se vale $f_{x_0}([a:b:c])l+f_{x_1}([a:b:c])m+f_{x_2}([a:b:c])n=0$. Ho finito, visto che sapevo che le derivate parziali si annullano nel punto...
E ovviamente potrei continuare per tutte le derivate successive.
$K([0:h:1])=K([0:0:1])+\nablaK([0:0:1]) \cdot [0:1:0]+H_K([0:0:1])[0:1:0] \cdot [0:1:0]$
e so che gradiente e polinomio si annullano entrambi in $P_0$. Ma non capisco se va bene come incremento il punto $[0:1:0]$ ad esempio, o come indicare un incremento...
L'Hessiana è singolare, ha determinante $0$ e ultima riga interamente nulla, ma anche qui non capisco come questo mi aiuti...
EDIT: Ho capito! Prendo $f([x_0:x_1:x_2])$ l'equazione del completamento proiettivo della cubica, $P_0=(a:b:c)$ un punto su di esso e prendo come equazione della retta quella parametrica passante per $P_0$ generica, \[r:= \begin{cases} x_0= a+lt \\ x_1=b+mt \\ x_2=c+nt \end{cases}\]Il punto $P_0$ corrisponde a $t=0$ di $g(t)=f(a+ l t ,b+mt,c+nt)$, che ha molteplicità maggiore di uno se e solo se vale anche $g'(0)=0$, ossia se vale $f_{x_0}([a:b:c])l+f_{x_1}([a:b:c])m+f_{x_2}([a:b:c])n=0$. Ho finito, visto che sapevo che le derivate parziali si annullano nel punto...
E ovviamente potrei continuare per tutte le derivate successive.
Conosci la formula generica per lo sviluppo di Taylor in più variabili? (Per intenderci, quella esprimibile anche per mezzo dei multiindici.)
Comunque l'osservazione nell'EDIT è corretta, è un altro ottimo modo per vedere la cosa.
Comunque l'osservazione nell'EDIT è corretta, è un altro ottimo modo per vedere la cosa.
Conosco quella per campi scalari $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, che posso scrivere o in forma gradiente ed hessiana, oppure nella forma
\[
f(x+h)=f(x)+\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)h_i+ \frac{1}{2!} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\right)(x)h_i h_j + o(||h||^2)
\]
E a seguire per gradi superiori con le derivate terze miste... Quella che ricavo per composizione con un cammino generico, per capirci.
\[
f(x+h)=f(x)+\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)h_i+ \frac{1}{2!} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\right)(x)h_i h_j + o(||h||^2)
\]
E a seguire per gradi superiori con le derivate terze miste... Quella che ricavo per composizione con un cammino generico, per capirci.
Ancora qualche problema, questa volta più topologico, forse...
Mi viene data una funzione
\[
F:\mathbb{R}^2 \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}^2 \\
F(x,y)=\left(\frac{2xy}{x^2+y^2},\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)
\]
Dopo alcune richieste, mi chiede in che modo $F$ induca una funzione $f:\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$, se tale funzione è continua e perché.
La mia risposta è che la $F$ è costante sulle classi di equivalenza del quoziente ${\mathbb{R}^2 \setminus \{0\} }/{\text{~}}$, per questo induce una $f$ sul proiettivo. Tale funzione è continua per la proprietà universale della topologia quoziente, infatti data $F$ continua e costante sulle classi e $\pi$ proiezione al quoziente suriettiva, ho $f$ continua.
La domanda dopo però mi confonde:
Dimostrare che $f$ è iniettiva.
Io avevo identificato $\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^1$ con $S^1$, quindi ogni punto può essere identificato dalle coordinate in $\mathbb{R}^2$ $(\cos(\theta),\sin(\theta))$. Sostituendo nella $F$, il valore per un certo $\theta$ è $(\sin (2\theta), \cos(2\theta))$, quindi non mi pare iniettiva! Infatti se scelgo $\theta=0$ e $\theta=\pi$ ho che le immagini sono uguali, il che dimostra la non iniettività!
Sbaglio, ma dove?
Mi viene data una funzione
\[
F:\mathbb{R}^2 \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}^2 \\
F(x,y)=\left(\frac{2xy}{x^2+y^2},\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)
\]
Dopo alcune richieste, mi chiede in che modo $F$ induca una funzione $f:\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$, se tale funzione è continua e perché.
La mia risposta è che la $F$ è costante sulle classi di equivalenza del quoziente ${\mathbb{R}^2 \setminus \{0\} }/{\text{~}}$, per questo induce una $f$ sul proiettivo. Tale funzione è continua per la proprietà universale della topologia quoziente, infatti data $F$ continua e costante sulle classi e $\pi$ proiezione al quoziente suriettiva, ho $f$ continua.
La domanda dopo però mi confonde:
Dimostrare che $f$ è iniettiva.
Io avevo identificato $\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^1$ con $S^1$, quindi ogni punto può essere identificato dalle coordinate in $\mathbb{R}^2$ $(\cos(\theta),\sin(\theta))$. Sostituendo nella $F$, il valore per un certo $\theta$ è $(\sin (2\theta), \cos(2\theta))$, quindi non mi pare iniettiva! Infatti se scelgo $\theta=0$ e $\theta=\pi$ ho che le immagini sono uguali, il che dimostra la non iniettività!
Sbaglio, ma dove?
Come costruisci \(\displaystyle\mathbb{S}^1\), pensandolo come spazio topologico quoziente?
Tramite una $\pi$ suriettiva, che definisce gli aperti in modo che $A \subset \mathbb{S}^1$ sia aperto $\iff$ è aperto anche $\pi^{-1}(A)$, ossia un insieme di classi è aperto se e solo se è aperto l'insieme delle controimmagini delle classi secondo la proiezione al quoziente. Le classi me le dà $\rho$ raggio in coordinate polari, perché $\forall \rho$ una $\theta$ fissata mi identifica la stessa classe (dato che $\rho$ è definita maggiore stretto di $0$).
E \(\displaystyle\theta\) come varia?
Tra $0$ e $2\pi$ (non compreso), proprio in virtù del fatto che $\rho$ sia definita positiva. E' proprio questo che mi crea problemi, il fatto che compaia quel $2\theta$ nell'espressione: in pratica $F$ fa un "doppio giro" sulla circonferenza $\mathbb{S}^1$...
Esatto, e se cambi con \(\displaystyle\theta\in[0,\pi[\)?
Se cambio con $[0,\pi[$ mantenendo la $\rho$ così come l'ho data ottengo solo metà piano, o, quozientando, metà circonferenza.
D'altra parte però, quozientando $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ sulla relazione d'equivalenza $x_1 \sigma x_2 \iff x_1=\lambda x_2$ con $\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ottengo il $\theta$ che varia in $[0,\pi[$ e quel quoziente è proprio il piano proiettivo.
Devo aver capito male qualcosa, penso nella prima identificazione di $\mathbb{S}^1$ con quel $\theta$ tra $0$ e $2\pi$, anche perché l'altra è la definizione di retta proiettiva. Cosa ho sbagliato?
D'altra parte però, quozientando $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ sulla relazione d'equivalenza $x_1 \sigma x_2 \iff x_1=\lambda x_2$ con $\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ottengo il $\theta$ che varia in $[0,\pi[$ e quel quoziente è proprio il piano proiettivo.
Devo aver capito male qualcosa, penso nella prima identificazione di $\mathbb{S}^1$ con quel $\theta$ tra $0$ e $2\pi$, anche perché l'altra è la definizione di retta proiettiva. Cosa ho sbagliato?
Scusa, ma se identifichi la retta proiettiva reale con la circonferenza...
La notte porta consiglio, e ieri sera mi son reso conto della stupidata che ho scritto:
Confondevo l'omeomorfismo $\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^1 \rightarrow {\mathbb{S}^1}/{\~}$ con il modello geometrico di retta proiettiva come circonferenza.
Alla luce di ciò, è chiaro che prendendo $\theta \in [0,\pi[$ e identificando i punti antipodali su $\mathbb{S}^1$, la funzione $f$ diventa biettiva.
Vi chiedo scusa per il tempo che vi ho fatto perdere, e vi ringrazio moltissimo. Alla prossima!
Confondevo l'omeomorfismo $\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^1 \rightarrow {\mathbb{S}^1}/{\~}$ con il modello geometrico di retta proiettiva come circonferenza.
Alla luce di ciò, è chiaro che prendendo $\theta \in [0,\pi[$ e identificando i punti antipodali su $\mathbb{S}^1$, la funzione $f$ diventa biettiva.
Vi chiedo scusa per il tempo che vi ho fatto perdere, e vi ringrazio moltissimo. Alla prossima!
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