Geometria Proiettiva
Ciao a tutti, ho un problema con la geometria proiettiva.
Dunque, in un esercizio mi si richiede di definire il tipo di conica partendo dall'equazione:
$ X^2 - XY + X - 1 = 0 $
Il procedimento è relativamente semplice, ovvero faccio il discriminante della matrice M, riscrivo la chiusura proiettiva, la metto a sistema con z=0 e poi dal tipo di soluzione determino la conica.
La mia domanda però riguarda il primo passaggio in quanto, nell'esercizio esplicativo del prof, da quell'equazione si passa alla matrice M:
$ |M| = | ( 1 , -1/2 , 1/2 ),( -1/2 , 0 , 0 ),( 1/2 , 0 , 1 ) | $
Considerando che l'equazione base di una conica in $ R^2 $ è: $ a11X^2 + 2a12XY + a22Y^2 + 2a13X + 2a23Y + a33 $
Ciò che non capisco è come mai compaiono quei valori.
grazie.
Dunque, in un esercizio mi si richiede di definire il tipo di conica partendo dall'equazione:
$ X^2 - XY + X - 1 = 0 $
Il procedimento è relativamente semplice, ovvero faccio il discriminante della matrice M, riscrivo la chiusura proiettiva, la metto a sistema con z=0 e poi dal tipo di soluzione determino la conica.
La mia domanda però riguarda il primo passaggio in quanto, nell'esercizio esplicativo del prof, da quell'equazione si passa alla matrice M:
$ |M| = | ( 1 , -1/2 , 1/2 ),( -1/2 , 0 , 0 ),( 1/2 , 0 , 1 ) | $
Considerando che l'equazione base di una conica in $ R^2 $ è: $ a11X^2 + 2a12XY + a22Y^2 + 2a13X + 2a23Y + a33 $
Ciò che non capisco è come mai compaiono quei valori.
grazie.
Risposte
"l0r3nzo":
ovvero faccio il discriminante della matrice M
determinante...
nella matrice ha semplicemente messo i valori di $a_(ij)$ che compaiono nell'equazione della conica
"itpareid":
[quote="l0r3nzo"]ovvero faccio il discriminante della matrice M
determinante...
nella matrice ha semplicemente messo i valori di $a_(ij)$ che compaiono nell'equazione della conica[/quote]
non li vedo. non vedo 1/2, -1/2... mi puoi spiegare quali sono questi valori per favore?grazie
Ho una domanda: sai qual è la forma matriciale associata all'equazione di una conica?
"ciampax":
Ho una domanda: sai qual è la forma matriciale associata all'equazione di una conica?
dunque l'equazione di una conica, se ho capito bene è la seguente: $ a11 X^2 + 2a12 XY + a22Y^2 + 2a13X + 2a23Y + a33 = 0 $
La relativa matrice associata è: $ M= ( ( a11 , a12 , a13 ),( a12 , a22 , a23 ),( a13 , a23 , a33 ) ) $
"itpareid":
[quote="l0r3nzo"]ovvero faccio il discriminante della matrice M
determinante...
nella matrice ha semplicemente messo i valori di $a_(ij)$ che compaiono nell'equazione della conica[/quote]
nel mio caso quindi l'equazione è: $ X^2−XY+X−1=0 $ e i relativi coefficienti dovrebbero essere $ a11, a12, a13, a33 $
no?
Ho trovato l'errore che facevo.
La forma matriciale è la seguente:
$ ( ( a11 , a12 , a13 ),( a12 , a22 , a23 ),( a13 , a23 , a33 ) ) $
Adesso devo solo capire come mai alcuni fattori vengono divisi per 2.
La forma matriciale è la seguente:
$ ( ( a11 , a12 , a13 ),( a12 , a22 , a23 ),( a13 , a23 , a33 ) ) $
Adesso devo solo capire come mai alcuni fattori vengono divisi per 2.
Non sono divisi per due: nella espressione cartesiana tu scrivi, ad esempio, $2a_{12} XY$. Ora, nella conica che stai studiando, hai il termine $-XY$, pertanto $2a_{12}=-1\ \Rightarrow\ a_{12}=-\frac{1}{2}$.
"ciampax":
Non sono divisi per due: nella espressione cartesiana tu scrivi, ad esempio, $2a_{12} XY$. Ora, nella conica che stai studiando, hai il termine $-XY$, pertanto $2a_{12}=-1\ \Rightarrow\ a_{12}=-\frac{1}{2}$.
Ok grazie mille davvero!
Un'ultima domanda... quando vado a studiare il tipo di conica, dopo aver visto che la matrice è diversa da 0, vado a fare la chiusura proiettiva e la metto a sistema con $ z = 0 $. calcolo il sistema, pongo lambda* (*non trovo il simbolo quindi usero U) $ U=(x/y) $ e a quel punto trovo una semplice equazione.
Nell'esempio che avevo postato l'equazione di secondo grado che viene fuori da questo piccolo esercizio è: $ u^2 - u = 0 $. a questo punto si trovano le due soluzioni che sono $ u=1 $ e $ u=0 $. A questo punto so che si tratta di un'iperbole, tuttavia il prof nell'esercizio ha trovato anche i punti impropri, che sono i seguenti $(1,1,0)$ e $(0,1,0)$. Non ho capito come si riescono a calcolare i punti impropri.
Sai che $z=0$. Inoltre hai dimostrato che $u=1,\ u=0$ sono soluzioni, pertanto $\frac{x}{y}=1,\ \frac{x}{y}=0$. La prima equazione è risolta scegliendo $x=y=1$ (ad esempio) mentre la seconda scegliendo $x=0,\ y=1$. Ecco da dove saltano fuori i punti impropri.
"ciampax":
Sai che $z=0$. Inoltre hai dimostrato che $u=1,\ u=0$ sono soluzioni, pertanto $\frac{x}{y}=1,\ \frac{x}{y}=0$. La prima equazione è risolta scegliendo $x=y=1$ (ad esempio) mentre la seconda scegliendo $x=0,\ y=1$. Ecco da dove saltano fuori i punti impropri.
Il ragionamento per quanto riguarda l'1 mi torna, e c'ero arrivato mentre il ragionamento per quanto riguarda $ u=0 $ no.
Se $u=x/y$ e se $u=0$ allora $x/y=0$ e nel caso viene $x=0 $$ y=0$ no?
Perché, secondo te $0/0=0$? 
Mi sa che devi ristudiarti l'aritmetica (seconda elementare!)
Mi sa che devi ristudiarti l'aritmetica (seconda elementare!)
"ciampax":
Perché, secondo te $0/0=0$?
guarda io e la matematica andiamo poco d'accordo!
Purtroppo devo fare questi esami di matematica ma ne farei anche a meno 
Considera che mi sto immergendo in questo campo molto velocemente visto che è solo la prima parte del programma e, avendo seguito il corso con un altro prof, non l'ho nemmeno sentito spiegato in classe...
Comunque sinceramente il ragionamento non mi torna. Mi rendo conto che forse è una banalità assurda e che il risultato è talmente semplice da sembrare scontato ma se pongo $u=0$ non capisco come fa a venir fuori $y=1$
"l0r3nzo":
ma se pongo $u=0$ non capisco come fa a venir fuori $y=1$
Chiedo scusa se mi intrometto nella discussione, sta diventando un tormento per te questo punto improprio.
Diciamo che in generale un punto improprio individua una direzione. Ma cosa rappresentano questi punti impropri. Hai detto tu stesso che è un iperbole, se ci fai caso hai due punti impropri e rappresentano le direzioni degli asintoti dell'iperbole. Infatti se rappresenti in un piano cartesiano quella curva vedrai che ha come asintoti una retta parallela all'asse $y$ (in questo caso è proprio l'asse $y$, la cui direzione è in individuata dal vettore $(0,1)$ e in coordinate proiettive [(0,1,0)] e una retta parallella alla bisettrice del $1°$ e $3°$ quadrante la cui direzione è individuata dal vettore $(1,1)$ e in coordinate proiettive [(1,1,0)].
Dopo questa premessa vediamo al tuo dilemma, cioè da dove spunta fuori $y=1$.
Un punto del piano proiettivo è individuato da una terna di numeri non tutti nulli e tutte le terne proporzionali a questa secondo un fattore non nullo, individuano sempre lo stesso punto del piano proiettivo.
Il punto [(1,-2,1)] è individuato equivalentemente da una delle seguenti terne:
$(1,-2,1)$, $(2,-4,2)$, $(-1,2,-1)$, $(-2,4,-2)$, etc.
I punti impropri, quindi le direzioni, si riconoscono perchè hanno la terza componente $0$.
Ora $u=x/y$ e $u=0$, quindi sarà $x/y=0$ ma se una frazione è nulla, allora il numeratore deve essere nullo e quindi $x=0$, fin quì tutto fila liscio.
Ora questo punto sarà rappresentato da una terna di numeri del tipo $(0,y,0)$ per $y$ potrei scegliere un qualsiasi valore tranne $0$ perchè $(0,0,0)$ non rappresenta nulla nel piano proiettivo.
Il punto [(0,y,0)] può essere rappresentato da $(0,1,0)$, $(0,-1,0)$, $(0,5,0)$, $(0,3,0)$,... etc.
La notazione più semplice è prendere $y=1$
Spero di non averti confuso ulteriormente.
Spiegazione superba e semplicissima!
Adesso mi è chiaro il tutto! Grazie !!!!
Adesso mi è chiaro il tutto! Grazie !!!!
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