Geometria proiettiva
Buongiorno, avrei bisogno con 3 esercizi di geometria proiettiva.
Nel primo esercizio ho provato ad usare la "formula" per il fascio di coniche bitangente, ma non viene, le 2 tangenti sono: $t_1: y=(4-x)/sqrt(3)$ e $t_2: y=(x-4)/sqrt(3)$, con la retta p passante per i 2 punti di tangenza $p: x=1$.
Il terzo medesimo al primo, ma sempre senza risultati positivi.
Il secondo ho usato la "formula" del fascio di coniche passante per 3 punti, e tangente a uno di essi. Le 2 tangenti sono $t_1: y=1-x/2$ e $t_2: y=x-2$, mentre le altre 2 rette sarebbero $r_1: y=0$ e $r_2: y=1$.
Dove sbaglio? grazie in anticipo
Nel primo esercizio ho provato ad usare la "formula" per il fascio di coniche bitangente, ma non viene, le 2 tangenti sono: $t_1: y=(4-x)/sqrt(3)$ e $t_2: y=(x-4)/sqrt(3)$, con la retta p passante per i 2 punti di tangenza $p: x=1$.
Il terzo medesimo al primo, ma sempre senza risultati positivi.
Il secondo ho usato la "formula" del fascio di coniche passante per 3 punti, e tangente a uno di essi. Le 2 tangenti sono $t_1: y=1-x/2$ e $t_2: y=x-2$, mentre le altre 2 rette sarebbero $r_1: y=0$ e $r_2: y=1$.
Dove sbaglio? grazie in anticipo
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Risposte
Nel primo e nel terzo devi considerare la retta che passa per i punti di tangenza come una retta doppia, quindi ad esempio nel primo la retta $x=1$ dà l'equazione $(x-1)^2=0$, da cui $(x-4)^2-3y^2+k (x-1)^2=0$, che è un'iperbole equilatera se $k=2$.
Per il secondo mi è venuta in mente una strada diversa: intanto mi pare che $A $ debba essere $(2,0) $, e in tal caso l'affinità $(x,y) \mapsto (x+y/2,y)$ trasforma la parabola cercata nella parabola tangente all'asse $x $ in $A $ e passante per $(1/2,1) $ e $(7/2,1) $, la cui equazione è $y=4/9 (x-2)^2$, e da qui risali alla parabola cercata: $y=4/9 (x+y/2-2)^2$.
Per il secondo mi è venuta in mente una strada diversa: intanto mi pare che $A $ debba essere $(2,0) $, e in tal caso l'affinità $(x,y) \mapsto (x+y/2,y)$ trasforma la parabola cercata nella parabola tangente all'asse $x $ in $A $ e passante per $(1/2,1) $ e $(7/2,1) $, la cui equazione è $y=4/9 (x-2)^2$, e da qui risali alla parabola cercata: $y=4/9 (x+y/2-2)^2$.
Grazie mille, avevo tralasciato il fatto di contare 2 volte la retta sui punti di tangenza, per il secondo invece non c'ero arrivato a fare così, grazie mille!
Avrei un'ultima domanda da fare. Avendo due asintoti di un'iperbole: $r_1: x+2y+3=0$ e $3x+2y+1=0$, come faccio a trovare l'equazione della conica sapendo che deve passare per (1,1)?
Il centro è (1,-2), e se lo sostituisco nell'equazione generale $((x-x_c)^2)/a^2-((y-y_c)^2)/b^2=1$ viene $-9/b^2=1 --> b^2=-9$. E qui mi sono inchiodato, cosa sbaglio?
Avrei un'ultima domanda da fare. Avendo due asintoti di un'iperbole: $r_1: x+2y+3=0$ e $3x+2y+1=0$, come faccio a trovare l'equazione della conica sapendo che deve passare per (1,1)?
Il centro è (1,-2), e se lo sostituisco nell'equazione generale $((x-x_c)^2)/a^2-((y-y_c)^2)/b^2=1$ viene $-9/b^2=1 --> b^2=-9$. E qui mi sono inchiodato, cosa sbaglio?
"plinko1":
$((x-x_c)^2)/a^2-((y-y_c)^2)/b^2=1$
Un'iperbole di quel tipo ha sempre gli assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani, ma non è il tuo caso (se conosci il centro hai tre gradi di libertà, ma nell'equazione che hai scritto ce ne sono due). Se invece conosci i due asintoti c'è un solo grado di libertà, ed è facile convincersi che l'equazione generale, nel tuo caso, è $(x+2y+3)(3x+2y+1)=k$, ma a questo punto $k$ si calcola facilmente.
Wow, ho buttato via un'ora per cercare di capire dove fosse l'errore ed era così semplice. peccato.
Grazie mille comunque
Grazie mille comunque
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