Geometria; parallelismo ed ortogonalità
Salve a tutti, durante un esercizio di geometria mi sono imbattuto in un punto che proprio non riesco a risolvere, sarei estremamente grato se qualcuno riuscisse ad aiutarmi.
Dato un piano $alpha$ : [tex]x -2y +2z = 2[/tex] e le coordinate di due punti [tex]A[/tex] $((2),(1),(1))$ e [tex]B[/tex]$((6),(-1),(-3))$ si determini un vettore [tex]d[/tex] tale che sia parallelo al piano $alpha$ ed ortogonale al vettore $vec (AB)$.
Io sono riuscito a determinare un vettore parallelo al piano, di coordinate $((0),(1),(1))$ ,ed uno ortogonale al vettore $vec (AB)$ ,di coordinate $((3),(2),(2))$; ma non riesco a capire come far coesistere queste condizioni.
Al professore viene un vettore di coordinate $((2),(2),(1))$
Dato un piano $alpha$ : [tex]x -2y +2z = 2[/tex] e le coordinate di due punti [tex]A[/tex] $((2),(1),(1))$ e [tex]B[/tex]$((6),(-1),(-3))$ si determini un vettore [tex]d[/tex] tale che sia parallelo al piano $alpha$ ed ortogonale al vettore $vec (AB)$.
Io sono riuscito a determinare un vettore parallelo al piano, di coordinate $((0),(1),(1))$ ,ed uno ortogonale al vettore $vec (AB)$ ,di coordinate $((3),(2),(2))$; ma non riesco a capire come far coesistere queste condizioni.
Al professore viene un vettore di coordinate $((2),(2),(1))$
Risposte
Ciao, io farei così: il vettore ortogonale al piano è \(\left(1, -2, 2\right)\) quindi se il futuro vettore \(\left(x, y, z\right)\) dovrà essere parallelo al piano esso dovrà anche essere ortogonale al vettore ortogonale al piano stesso. Allora uguagliamo il loro prodotto scalare a zero e otteniamo$$
\left\langle \left(1, -2, 2\right), \left(x, y, z\right)\right\rangle = 0 \Rightarrow x-2y+2z=0
$$Troviamo il vettore $\vec{AB}$ come sottrazione tra le coordinate di $B$ e quelle di $A$, quindi \(\vec{AB} = \left(4, -2, -4\right)\). Il futuro vettore dovrà essere ortogonale a questo: ancora prodotto scalare uguagliato a zero.$$
\left\langle \left(4, -2, -4\right), \left(x, y, z\right)\right\rangle = 0 \Rightarrow 4x-2y-4z=0
$$Dal sistema tra queste condizioni ricaviamo$$
\begin{cases}
x=2z\\
y=2x-2z
\end{cases}
$$Scegliamo uno dei termini a piacere, ad esempio $x=2$, e ricaviamo il seguente vettore: $$
\left(\begin{matrix}
2\\2\\1
\end{matrix}\right)
$$
\left\langle \left(1, -2, 2\right), \left(x, y, z\right)\right\rangle = 0 \Rightarrow x-2y+2z=0
$$Troviamo il vettore $\vec{AB}$ come sottrazione tra le coordinate di $B$ e quelle di $A$, quindi \(\vec{AB} = \left(4, -2, -4\right)\). Il futuro vettore dovrà essere ortogonale a questo: ancora prodotto scalare uguagliato a zero.$$
\left\langle \left(4, -2, -4\right), \left(x, y, z\right)\right\rangle = 0 \Rightarrow 4x-2y-4z=0
$$Dal sistema tra queste condizioni ricaviamo$$
\begin{cases}
x=2z\\
y=2x-2z
\end{cases}
$$Scegliamo uno dei termini a piacere, ad esempio $x=2$, e ricaviamo il seguente vettore: $$
\left(\begin{matrix}
2\\2\\1
\end{matrix}\right)
$$
Grazie dell'aiuto ma non capisco, considerando che il vettore AB si trova sul piano;
come è possibile che richieda contemporaneamente che un vettore sia ortogonale e parallelo;
come è possibile che richieda contemporaneamente che un vettore sia ortogonale e parallelo;
Ma il vettore \(\displaystyle \vec{AB} \) non si trova sul piano. Se sostituisci le sue coordinate trovi $0=2$.
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