Geometria nello spazio, quesito da esame
Ciao tutti, volevo porvi questo esercizio d'esame, perchè io in tutta sincerità non sono molto bravo in geometria nello spazio; e siccome avrò l'esme tra poco, vi chiedo gentilmente di aiutarmi in questa materia per me così ostica ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Quesito:
Deteminare l'equazione della sfera che è tangente nel punto P=(0,0,0)al piano "Pgreco": x-y+z=0 e ha il centro sul piano Pgreco:x-1=0
Grazie mille a tutti
Quesito:
Deteminare l'equazione della sfera che è tangente nel punto P=(0,0,0)al piano "Pgreco": x-y+z=0 e ha il centro sul piano Pgreco:x-1=0
Grazie mille a tutti
Risposte
vi prego aiutatemi...... 
Il piano $pi$ taglia la sfera cercata nel cerchio (degenere) di equazioni:
${(x-y+z=0),(x^2+y^2+z^2=0):}$
Poiche' la sfera in questione deve contenere tale cercho, essa apparterra'
al fascio di sfere di equazione:
(1) $lambda(x^2+y^2+z^2)+mu(x-y+z)=0$
Il centro di tale fascio e' il punto $C( -(mu)/(2lambda) ,(mu)/(2lambda),-(mu)/(2lambda))$ (con $lambda!=0$)
Esso deve appartenere al piano $x-1=0$ e dunque:
$-(mu)/(2lambda)=1$ da cui $mu=-2lambda$ e sostituendo tale valore di $mu$ nella (1):
$x^2+y^2+z^2-2x+2y-2z=0$
che e' l'equazione voluta.
karl
P.S.
Di per sè questo svolgimento avrebbe poco valore se mancasse
la tua personale rielaborazione.
${(x-y+z=0),(x^2+y^2+z^2=0):}$
Poiche' la sfera in questione deve contenere tale cercho, essa apparterra'
al fascio di sfere di equazione:
(1) $lambda(x^2+y^2+z^2)+mu(x-y+z)=0$
Il centro di tale fascio e' il punto $C( -(mu)/(2lambda) ,(mu)/(2lambda),-(mu)/(2lambda))$ (con $lambda!=0$)
Esso deve appartenere al piano $x-1=0$ e dunque:
$-(mu)/(2lambda)=1$ da cui $mu=-2lambda$ e sostituendo tale valore di $mu$ nella (1):
$x^2+y^2+z^2-2x+2y-2z=0$
che e' l'equazione voluta.
karl
P.S.
Di per sè questo svolgimento avrebbe poco valore se mancasse
la tua personale rielaborazione.
Se poi non si vuole ricorrere al fascio di sfere, si può usare un metodo intuitivo.
La sfera è tangente in $P: (0,0,0)$ al piano $\eta: x-y+z=0$, il suo centro $C$ deve appartenere alla retta ortogonale a $\eta$ e passante per $P$, che in forma parametrica è $(t,-t,t)$. $C$ giace anche sul piano $\pi: x-1=0$, e questo accade quando $t=1$. L'equazione della sfera cercata è quindi della forma $(x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=R^2$. Affinchè passi per il punto $(0,0,0)$ si deve porre $R^2=3$, che è la sfera trovata da Karl.
La sfera è tangente in $P: (0,0,0)$ al piano $\eta: x-y+z=0$, il suo centro $C$ deve appartenere alla retta ortogonale a $\eta$ e passante per $P$, che in forma parametrica è $(t,-t,t)$. $C$ giace anche sul piano $\pi: x-1=0$, e questo accade quando $t=1$. L'equazione della sfera cercata è quindi della forma $(x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=R^2$. Affinchè passi per il punto $(0,0,0)$ si deve porre $R^2=3$, che è la sfera trovata da Karl.
grazie mille a tutti..siete grandi!!!!!
comunque la risp di Cmax è quella che interessava di più il mio prof.
se avrò altri problemi li inserirò nel forum...
spero di trovarvi ancora...
Per ora grazie infinitamente
comunque la risp di Cmax è quella che interessava di più il mio prof.
se avrò altri problemi li inserirò nel forum...
spero di trovarvi ancora...
Per ora grazie infinitamente
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