Geometria nello spazio-fascio di rette
Buonasera a tutti, sono nuova e questo è il mio primo messaggio, spero di fare tutto correttamente.
Sto preparando un esame di geometria e durante lo studio mi sono imbattuta in questo esercizio:
"Scrivere le equazioni cartesiane del fascio di rette che appartiene al piano $ π : 3x+2y-z+3=0 $ e ha centro nel punto $ P (-1, 1, 2) $ di $ π $."
Ora, nonostante abbia capito lo svolgimento che riporta il libro, non riesco ad affrontare l'esercizio nella modalità richiesta dal mio professore. Ovvero, mi ero appuntata sul quaderno che il procedimento era il seguente: scrivere la stella di rette $ (x+1)/l=(y-1)/m=(z-2)/n $; porre n=1, sperando che la retta che sto cercando non sia // al piano xy; scrivere la generica retta // al piano (la condizione è che $ al+bm+cn=0$)... e poi non riesco più ad andare avanti.
Spero che qualcuno possa aiutarmi e se non non sono riuscita a spiegare bene il procedimento che mi occorre, mi proponga qualche alternativa. Grazie
Sto preparando un esame di geometria e durante lo studio mi sono imbattuta in questo esercizio:
"Scrivere le equazioni cartesiane del fascio di rette che appartiene al piano $ π : 3x+2y-z+3=0 $ e ha centro nel punto $ P (-1, 1, 2) $ di $ π $."
Ora, nonostante abbia capito lo svolgimento che riporta il libro, non riesco ad affrontare l'esercizio nella modalità richiesta dal mio professore. Ovvero, mi ero appuntata sul quaderno che il procedimento era il seguente: scrivere la stella di rette $ (x+1)/l=(y-1)/m=(z-2)/n $; porre n=1, sperando che la retta che sto cercando non sia // al piano xy; scrivere la generica retta // al piano (la condizione è che $ al+bm+cn=0$)... e poi non riesco più ad andare avanti.
Spero che qualcuno possa aiutarmi e se non non sono riuscita a spiegare bene il procedimento che mi occorre, mi proponga qualche alternativa. Grazie
Risposte
\(\displaystyle \begin{cases}\frac{x+1}{l}=\frac{y-1}{m}=\frac{z-2}{n}\\3l+2m-n=0\end{cases} \)
$n=3l+2m$
\(\displaystyle \frac{x+1}{l}=\frac{y-1}{m}=\frac{z-2}{3l+2m} \)
Equazioni cartesiane della generica retta del fascio[in forma intera] :
\(\displaystyle \begin{cases}m(x+1)-l(y-1)=0\\(3l+2m)(y-1)-m(z-2)=0\end{cases} \)
Al variare dei parametri $l,m$ si ottengono le rette del fascio.
$n=3l+2m$
\(\displaystyle \frac{x+1}{l}=\frac{y-1}{m}=\frac{z-2}{3l+2m} \)
Equazioni cartesiane della generica retta del fascio[in forma intera] :
\(\displaystyle \begin{cases}m(x+1)-l(y-1)=0\\(3l+2m)(y-1)-m(z-2)=0\end{cases} \)
Al variare dei parametri $l,m$ si ottengono le rette del fascio.
Come faccio a verificare che il risultato è lo stesso che viene al libro?
$ 3x+2y-z+3=0 $
$ k(x+1)+w(y-1)=0 $
E per ottenere le ridotte devo porre n=1 nella condizione $ 3l+2m-n=0 $ e svolgere tutti i calcoli successivi?
$ 3x+2y-z+3=0 $
$ k(x+1)+w(y-1)=0 $
E per ottenere le ridotte devo porre n=1 nella condizione $ 3l+2m-n=0 $ e svolgere tutti i calcoli successivi?
Ti garantisco che la mia soluzione e quella del prof. sono perfettamente equivalenti e dall'una si può passare all'altra con un po' di manipolazioni. Vai tranquilla...
Ok grazie allora! 
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