Geometria nello spazio
Salve a tutti! 
L'esercizio è il seguente
Io ho provato a trovare la forma parametrica delle rette, in modo da avere i parametri direttori di ciascuna retta. Poi, considerando che il piano che devo trovare ha equazione $pi: ax+by+cz+d=0$ ho "imposto" che il prodotto scalare tra i vettori che individuano le retta e il vettore normale alla superficie del piano $(a,b,c)$ sia $0$ (condizione di perpendicolarità). Infine ho imposto che la distanza del centro della sfera dal piano sia uguale al raggio. Così ho 3 condizioni con 4 incognite. Il sistema che mi viene fuori sarebbe:
${ ( (a,b,c)*(1,2,1)=0 ),( (a,b,c)*(1/3,5/3,1)=0 ),( d(C,pi)=r ):}$
con $C(1,2,0)$ e $r=1$
Ho sbagliato qualcosa?
Ho bisogno di un'altra condizione? Se si, quale? Se no, come procedo?
Grazie per la pazienza!
L'esercizio è il seguente
Nello spazio riferito ad un sistema di coordinate cartesiane $Oxyz$ determinare i piani paralleli alle rette $r$ ed $s$ di equazioni rispettivamente :
$r:{ ( x-z=1 ),( y-2z=0 ):}$
$s:{ ( x+y-2z=0 ),( 2x-y+z=0 ):}$
e tangenti alla sfera $x^2+y^2+z^2-2x-4y+4=0$.
Io ho provato a trovare la forma parametrica delle rette, in modo da avere i parametri direttori di ciascuna retta. Poi, considerando che il piano che devo trovare ha equazione $pi: ax+by+cz+d=0$ ho "imposto" che il prodotto scalare tra i vettori che individuano le retta e il vettore normale alla superficie del piano $(a,b,c)$ sia $0$ (condizione di perpendicolarità). Infine ho imposto che la distanza del centro della sfera dal piano sia uguale al raggio. Così ho 3 condizioni con 4 incognite. Il sistema che mi viene fuori sarebbe:
${ ( (a,b,c)*(1,2,1)=0 ),( (a,b,c)*(1/3,5/3,1)=0 ),( d(C,pi)=r ):}$
con $C(1,2,0)$ e $r=1$
Ho sbagliato qualcosa?
Ho bisogno di un'altra condizione? Se si, quale? Se no, come procedo?
Grazie per la pazienza!
Risposte
Hai fatto tutto benissimo finora. Corretto il ragionamento e corretti i calcoli.
Il vettore di direzione $ ( 1/3 \ \ 5/3 \ \ 1 ) $ è inutilmente complicato, ti consiglio di moltiplicarlo per 3 ed eliminare le frazioni e usare $ ( 1 \ \ 5 \ \ 3 ) $ che è buono quanto il primo ma più semplice da maneggiare.
Prima di continuare però vorrei sapere due cose:
a) sei al liceo? se si, quale?
b) conosci il prodotto vettoriale?
Il vettore di direzione $ ( 1/3 \ \ 5/3 \ \ 1 ) $ è inutilmente complicato, ti consiglio di moltiplicarlo per 3 ed eliminare le frazioni e usare $ ( 1 \ \ 5 \ \ 3 ) $ che è buono quanto il primo ma più semplice da maneggiare.
Prima di continuare però vorrei sapere due cose:
a) sei al liceo? se si, quale?
b) conosci il prodotto vettoriale?
"TeM":
Il sistema di equazioni risolvente il problema l'hai impostato correttamente, non rimane che risolverlo.
...però può risparmiarsi una marea di calcoli, volendo
"Bokonon":
a) sei al liceo? se si, quale?
b) conosci il prodotto vettoriale?
Aspetto anch'io la risposta a queste domande perché so che il programma del liceo è cambiato molto negli ultimi anni... semmai si sposta la discussione in una sezione più appropriata.
(dal suo avatar dedurrei che è all'università
)
"TeM":
P.S.: nel profilo ValeForce scrive di essere studente di un corso di laurea in fisica.
Ah! Mi pareva strano...altrimenti tutte le mie convinzioni andavano a farsi benedire
viewtopic.php?f=16&t=195495&start=10
(seconda pagina)
"TeM":
P.S.: nel profilo ValeForce scrive di essere studente di un corso di laurea in fisica.
Non ci avevo pensato... eppure era la cosa più semplice da fare.
Vi ringrazio per gli hint.
Sposto la discussione in geometria.
"Zero87":
Aspetto anch'io la risposta a queste domande perché so che il programma del liceo è cambiato molto negli ultimi anni... semmai si sposta la discussione in una sezione più appropriata.
(dal suo avatar dedurrei che è all'università
Avete ragioni entrambi...è all'università.
E non posso credere che a liceo insegnino in modo decente l'algebra lineare...sarebbe davvero troppo per i ragazzi.
Intanto vi ringrazio tutti per le risposte. Credevo questa fosse la sezione giusta e invece ho creato solo caos...
Mi scuso per aver sbagliato sezione
a) ...Mi dispiace deluderti ma, come avete già visto, sono uno studente di fisica dell'università di Catania (primo anno)
b) si
Alla fine l'esercizio l'ho risolto trovando i piani
$x-2y+3z+sqrt14+3=0$ e $x-2y+3z-sqrt14+3=0$
Beh... posto che non sono più un liceale, quale sarebbe un altro modo per risparmiarmi tutti questi calcoli?
Mi scuso per aver sbagliato sezione
"Bokonon":
a) sei al liceo? se si, quale?
b) conosci il prodotto vettoriale?
a) ...Mi dispiace deluderti ma, come avete già visto, sono uno studente di fisica dell'università di Catania (primo anno)
b) si
Alla fine l'esercizio l'ho risolto trovando i piani
$x-2y+3z+sqrt14+3=0$ e $x-2y+3z-sqrt14+3=0$
Beh... posto che non sono più un liceale, quale sarebbe un altro modo per risparmiarmi tutti questi calcoli?
"Bokonon":
...però può risparmiarsi una marea di calcoli, volendo
"ValeForce":
Beh... posto che non sono più un liceale, quale sarebbe un altro modo per risparmiarmi tutti questi calcoli?
Siamo in $R^3$ quindi facendo il prodotto vettoriale delle due direzioni troviamo la direzione perpendicolare ad entrambe, le cui componenti sono appunto i valori di a,b,c.
Pazzesco! L'ho appena risolto usando il prodotto vettoriale + la condizione di tangenza ($d(C,π)=r$).
Grazie mille
Grazie mille
Prego. Il mio motto "semplifichiamoci la vita"
Per curiosità (e anche perchè potrebbero chiedertelo in un altro esercizio), sapresti trovare i punti di tangenza?
Per curiosità (e anche perchè potrebbero chiedertelo in un altro esercizio), sapresti trovare i punti di tangenza?
Per trovare i punti di tangenza considererei la retta passante per il centro della sfera e perpendicolare al piano tangente:
Quindi parametri direttori $(1,-2,3)$ e $C=(1,2,0)$
$h={ ( x=1+h ),( y=2-2h ),( z=3h ):}$ quindi trovo intersezione con il piano $x-2y+3z+sqrt14+3=0$
da cui mi risulta $h=-1/sqrt14$. Dunque $H=(1-1/sqrt14,2+2/sqrt14,-3/sqrt14)$ punto di tangenza
E l'altro per simmetria rispetto a $C$!
Come potrei "semplificarmi la vita" in questo caso?
Quindi parametri direttori $(1,-2,3)$ e $C=(1,2,0)$
$h={ ( x=1+h ),( y=2-2h ),( z=3h ):}$ quindi trovo intersezione con il piano $x-2y+3z+sqrt14+3=0$
da cui mi risulta $h=-1/sqrt14$. Dunque $H=(1-1/sqrt14,2+2/sqrt14,-3/sqrt14)$ punto di tangenza
E l'altro per simmetria rispetto a $C$!
Come potrei "semplificarmi la vita" in questo caso?
"ValeForce":
Come potrei "semplificarmi la vita" in questo caso?
Sei stato perfetto
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