Geometria Euclidea: rette e sfere
Salve a tutti, ho un dubbio su questi due esercizi.
1) "Nello spazio affine euclideo di dimensione 3, nel quale è fissato un riferimento ortonormale, sono date le rette $r \{ (x = z),(y = 1):}$ e $s \{ ( x =\lambda ),(y = 1 + \lambda),(z = 1 + \lambda):}$ Dopo aver verificato che r ed s sono sghembe, determinare la sfera avente per diametro il segmento di minima distanza tra r ed s.
2)Nello spazio affine euclideo di dimensione 3 sono dati il piano $ σ : x+z−1 = 0 $e la retta $ r \{(x = −1),(y = −z):}$ rappresentati in un riferimento ortonormale. Dopo aver verificato che r e σ sono incidenti, determinare le rette di $σ$ incidenti r che formano con essa un angolo di π
Per quanto riguarda il primo, ho verificato che le due rette sono sghembe, ed ho anche individuato la minima distanza tra le due, costruendo un piano $\pi$ che contenga la retta $r$ e che sia parallelo a $s$ e poi ho calcolato la distanza $d(S,\pi)$ trovando che la distanza sia $1/sqrt2 $. Il mio dubbio sta nel procedere per il punto successivo. non so come trovare la sfera che ha quindi come diametro la distanza trovata. Qualche suggerimento su come procedere?
Per il secondo problema, ho verificato che il piano e la retta siano incidenti, ora per trovare le rette di $\sigma$ che incidono in $r$ e siano ortogonali ad $r$ ho fatto così:
Ho considerato un vettore di giacitura generico della retta $t$ da trovare $v_t(l,m,n)$, essendo che t deve essere contenuto in $\sigma$ allora $v_t*v_(\sigma)=0$ trovando la prima condizione e poi per la seconda ho imposto $cos\pi/4= v_t*v_r/(|v_t||v_r|$ trovando così la seconda condizione. Svolgendo i vari calcoli ho trovato due possibili vettori generici della retta t ovvero : $v_t(0,m,0) $ e $ v_t(2m,m,-2m)$ . Scegliendo un rappresentante dei due vettori ho costruito le due possibili rette passanti per il punto di incidenza con $r$. E' giusto il ragionamento?
Grazi in anticipo
1) "Nello spazio affine euclideo di dimensione 3, nel quale è fissato un riferimento ortonormale, sono date le rette $r \{ (x = z),(y = 1):}$ e $s \{ ( x =\lambda ),(y = 1 + \lambda),(z = 1 + \lambda):}$ Dopo aver verificato che r ed s sono sghembe, determinare la sfera avente per diametro il segmento di minima distanza tra r ed s.
2)Nello spazio affine euclideo di dimensione 3 sono dati il piano $ σ : x+z−1 = 0 $e la retta $ r \{(x = −1),(y = −z):}$ rappresentati in un riferimento ortonormale. Dopo aver verificato che r e σ sono incidenti, determinare le rette di $σ$ incidenti r che formano con essa un angolo di π
Per quanto riguarda il primo, ho verificato che le due rette sono sghembe, ed ho anche individuato la minima distanza tra le due, costruendo un piano $\pi$ che contenga la retta $r$ e che sia parallelo a $s$ e poi ho calcolato la distanza $d(S,\pi)$ trovando che la distanza sia $1/sqrt2 $. Il mio dubbio sta nel procedere per il punto successivo. non so come trovare la sfera che ha quindi come diametro la distanza trovata. Qualche suggerimento su come procedere?
Per il secondo problema, ho verificato che il piano e la retta siano incidenti, ora per trovare le rette di $\sigma$ che incidono in $r$ e siano ortogonali ad $r$ ho fatto così:
Ho considerato un vettore di giacitura generico della retta $t$ da trovare $v_t(l,m,n)$, essendo che t deve essere contenuto in $\sigma$ allora $v_t*v_(\sigma)=0$ trovando la prima condizione e poi per la seconda ho imposto $cos\pi/4= v_t*v_r/(|v_t||v_r|$ trovando così la seconda condizione. Svolgendo i vari calcoli ho trovato due possibili vettori generici della retta t ovvero : $v_t(0,m,0) $ e $ v_t(2m,m,-2m)$ . Scegliendo un rappresentante dei due vettori ho costruito le due possibili rette passanti per il punto di incidenza con $r$. E' giusto il ragionamento?
Grazi in anticipo
Risposte
In merito al primo quesito da lei proposto, la sfera da trovare è quella che per centro il punto medio del segmento di minima tra le due rette.
Invece per quanto riguarda il secondo quesito, per trovare le rette del piano $ alpha $ ortogonali ad r basta trovare l'intersezione tra il piano $ alpha $ ed il piano ortogonale ad r passante per il punto di incidenza tra la retta r ed il piano $ alpha $.
Per la sfera avevo pensato di individuare la retta passante per il punto S, e poi individuare l'intersezione retta S e retta r così da individuare l'altro punto e poi trovare il punto medio tra i due punti. Ma non riesco nei calcoli.
Per il secondo, non sarebbe il ragionamento che ho fatto io?
Per il secondo, non sarebbe il ragionamento che ho fatto io?
Per individuare la sfera ho fatto così:
Queste è la situazione : http://dinamico2.unibg.it/ctd/eracle/geom3d/iflo011.gif
Ho indiviaduato la distanza minima che è $1/sqrt2$ pertanto il raggio della nostra sfera sarà $sqrt2/4$
Ho individuato la retta passante per il punto S della retta s, ortogonale al piano. Così ho individuato l'equazioni parametriche e poi cartesiane della retta t come: $ \{(x-1=0),(x+z-1=0):}$ Successivamente ho intersecato con la retta r per individuare il punto di incontro tra S e la sua proiezione nella retta r. Infine ho individuato il punto medio tra S e R, trovando che il centro della sfera è $C(1/4,0,-1/4)$ . Con queste informazioni ho poi scritto l'equazione della sfera E' giusto così?
Queste è la situazione : http://dinamico2.unibg.it/ctd/eracle/geom3d/iflo011.gif
Ho indiviaduato la distanza minima che è $1/sqrt2$ pertanto il raggio della nostra sfera sarà $sqrt2/4$
Ho individuato la retta passante per il punto S della retta s, ortogonale al piano. Così ho individuato l'equazioni parametriche e poi cartesiane della retta t come: $ \{(x-1=0),(x+z-1=0):}$ Successivamente ho intersecato con la retta r per individuare il punto di incontro tra S e la sua proiezione nella retta r. Infine ho individuato il punto medio tra S e R, trovando che il centro della sfera è $C(1/4,0,-1/4)$ . Con queste informazioni ho poi scritto l'equazione della sfera E' giusto così?
Si è giusto
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