GEOMETRIA EUCLIDEA
per favore chi mi aiuta svolgere questo esercizio,perchè nn ci capisco proprio niente...
nello spazio euclideo E3 nel quale sia fissato un sistema di riferimento ortonormale,sono dati la retta r:2x-z-1=0=3x+y+z+2 ed il punto P(2,1,0) determinare:
1)la retta passante per P e parallela as r
2)due rette passanti per P ed orogonali a r
3)il piano passante per P ed ortogonale a r
4)la proiezione ortogonale di p su r
5)la distanza di P da r
6)la retta passante per P incidente la retta r e a questa ortogonale
nello spazio euclideo E3 nel quale sia fissato un sistema di riferimento ortonormale,sono dati la retta r:2x-z-1=0=3x+y+z+2 ed il punto P(2,1,0) determinare:
1)la retta passante per P e parallela as r
2)due rette passanti per P ed orogonali a r
3)il piano passante per P ed ortogonale a r
4)la proiezione ortogonale di p su r
5)la distanza di P da r
6)la retta passante per P incidente la retta r e a questa ortogonale
Risposte
Se non ho preso un abbaglio direi che la generica retta parallela ad $r$ si scrive come:
$\{(2x-z=a),(3x+y+z=b):}$ per qualche $a,b \in \mathbb{R}$.
Imponendo il passaggio per $(2,1,0)$ si trovano $a$ e $b$.
$\{(2x-z=a),(3x+y+z=b):}$ per qualche $a,b \in \mathbb{R}$.
Imponendo il passaggio per $(2,1,0)$ si trovano $a$ e $b$.
Per il secondo punto, il vettore che genera la retta $r'$:
$\{(2x-z=0),(3x+y+z=0):}$
è, se non ho sbagliato i conti $((1),(-5),(2))$
quindi il piano passante per l'origine ortogonale a $r'$ ha equazione $x-5y+2z=0$.
Dato che $r'$ è parallelo ad $r$, allora questo piano è ortogonale anche a $r$, quindi tutte le rette che giacciono sul piano sono perpendicolari a $r$.
Ponendo $y=\alpha$ e $z=\beta$, il generico vettore appartenente al piano si scrive come $((5\alpha-2\beta),(\alpha),(\beta)) = \alpha((5),(1),(0)) + \beta ((-2),(0),(1))$.
Quindi, due rette perpendicolari a $r$ e passanti per $P$ si possono scrivere come:
$\alpha((5),(1),(0)) + ((2),(1),(0))$ e $\beta ((-2),(0),(1)) + ((2),(1),(0))$
per qualche $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
$\{(2x-z=0),(3x+y+z=0):}$
è, se non ho sbagliato i conti $((1),(-5),(2))$
quindi il piano passante per l'origine ortogonale a $r'$ ha equazione $x-5y+2z=0$.
Dato che $r'$ è parallelo ad $r$, allora questo piano è ortogonale anche a $r$, quindi tutte le rette che giacciono sul piano sono perpendicolari a $r$.
Ponendo $y=\alpha$ e $z=\beta$, il generico vettore appartenente al piano si scrive come $((5\alpha-2\beta),(\alpha),(\beta)) = \alpha((5),(1),(0)) + \beta ((-2),(0),(1))$.
Quindi, due rette perpendicolari a $r$ e passanti per $P$ si possono scrivere come:
$\alpha((5),(1),(0)) + ((2),(1),(0))$ e $\beta ((-2),(0),(1)) + ((2),(1),(0))$
per qualche $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
tipper sei sempre gentilissimo..ma se mi capitasse un esercizio del genere come dovrei svolgerlo?
"Tipper":
Per il secondo punto, il vettore che genera la retta $r'$:
$\{(2x-z=0),(3x+y+z=0):}$
è, se non ho sbagliato i conti $((1),(-5),(2))$
quindi il piano passante per l'origine ortogonale a $r'$ ha equazione $x-5y+2z=0$.
Dato che $r'$ è parallelo ad $r$, allora questo piano è ortogonale anche a $r$, quindi tutte le rette che giacciono sul piano sono perpendicolari a $r$.
Ponendo $y=\alpha$ e $z=\beta$, il generico vettore appartenente al piano si scrive come $((5\alpha-2\beta),(\alpha),(\beta)) = \alpha((5),(1),(0)) + \beta ((-2),(0),(1))$.
Quindi, due rette perpendicolari a $r$ e passanti per $P$ si possono scrivere come:
$\alpha((5),(1),(0)) + ((2),(1),(0))$ e $\beta ((-2),(0),(1)) + ((2),(1),(0))$
per qualche $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
Per il punto 3), il piano richiesto si può scrivere come:
$\alpha((5),(1),(0)) + \beta ((-2),(0),(1)) + ((2),(1),(0))$
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