Geometria euclidea

[Brufus1]

Buongiorno a tutti. Quali postulati devo utilizzare per asserire che $ \frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2} ~= \frac{\alpha+\beta }{2}$?

[Brufus1]

Provo a buttarla là.... noi sappiamo che $ \alpha+\beta ~= \frac {alpha}{2}+\frac {alpha}{2}+\frac {beta}{2}+\frac {beta}{2}$ dove ovviamente la somma va intesa come giustapposizione di angoli. Quindi sempre utilizzando il linguaggio formale di multiplo intero possiamo scrivere $ \alpha+\beta ~= 2 ( \frac {alpha}{2}+\frac {beta}{2})$
Ora utilizzo il postulato che recita
Multipli o sottomultipli (secondo lo stesso numero) di segmenti congruenti, oppure di angoli congruenti, sono congruenti.
Quindi il sottomultiplo di fattore $\frac{1}{2}$ dell'angolo $\alpha+\beta $ è congruente al sottomultiplo di fattore $\frac{1}{2}$ dell'angolo $2 ( \frac {alpha}{2}+\frac {beta}{2}) $ che tradotto in simboli significa $ \frac{1}{2}( \alpha+\beta )~= \frac{1}{2} 2 ( \frac {alpha}{2}+\frac {beta}{2})$ . Ora credo sia pacifico accettare il fatto che prendere la metà del doppio di un angolo significhi considerare l'angolo stesso. Forse questo è il passaggio filosofico sul quale ho dubbi. Se lo accettiamo allora abbiamo concluso.

[j18eos]

Potresi inserire un riferimeto teorico?

[Brufus1]

Ciao, cosa intendi per riferimento teorico?

[megas_archon]

Intende che non hai fatto una domanda sulla geometria Euclidea. L'identità che vuoi è una proprietà delle frazioni.

Perciò, non è chiaro cosa diavolo vuoi sapere.

[Brufus1]

Spero tu stia scherzando. Quello è un puro linguaggio formale oppure pensi che sommare numeri equivalga a sommare segmenti?

[megas_archon]

Che cosa sono i numeri?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Brufus, dovresti darci tutta la lista dei postulati che puoi usare, altrimenti come facciamo a capire di cosa parli?

[j18eos]

Questo è esattamente ciò che ti chiedevo Brufus!

[Brufus1]

"megas_archon":Che cosa sono i numeri?

Se ti riferisci ai numeri reali credo che possano essere definiti in vari modi, ad esempio assiomaticamente come un insieme che deve soddisfare 12 assiomi tra cui la completezza.
Oppure attraverso le successioni di cauchy a partire dai razionali. In ogni caso l'insieme dei numeri reali e lo spazio della geometria euclidea sono certamente insiemi diversi dotati di operazioni diverse. Non credo che tu scriva " uno più uno è congruente a due".
Se indichiamo $\color{blue} {(\mathbb Q,+,•)}$ il campo dei numeri razionali posso definire un'operazione simbolica tra numeri e segmenti come se si trattasse di uno spazio vettoriale del tipo $ AB + AB := 2 \color{red}{•} AB$ e ponendo $AB+AB~= CD$ abbiamo $2 \color{red}{•} AB~=CD$ da cui sempre simbolicamente scriveremo $AB~= \frac{1}{2} \color{red}{•} CD$. A questo punto per definizione sarà valida una scrittura del tipo $ 2 \color{red}{•}(\frac{1}{2} \color{red}{•} CD)~= ( \frac{1}{2} \color{blue}{•} 2) \color{red}{•}CD~= CD$ quasi come se fosse l'azione di un gruppo su un insieme. Sarei curioso di vedere come Euclide dimostrava ( o dava per scontato) tutto ciò nei suoi "Elementi" a partire dai 5 postulati, oppure come lo avrebbe scritto Hilbert a partire dai suoi 21 postulati

[Brufus1]

"Martino":Brufus, dovresti darci tutta la lista dei postulati che puoi usare, altrimenti come facciamo a capire di cosa parli?

1. A una retta appartengono almeno due
punti distinti e a un piano almeno tre
punti distinti non allineati.
2. Due punti distinti appartengono a una e
una sola retta.
3. Tre punti distinti e non allineati appar-
tengono a uno e un solo piano.
4. Considerata una retta su un piano, c'è
almeno un punto del piano che non
appartiene alla retta.
5. Se una retta passa per due punti di un
piano, allora appartiene al piano.
6. Se A e B sono due punti distinti di una
retta, o A precede .B, o B precede .A.
7. Se .A precede .B e B precede C, allora A pre-
cede C.
8. Preso un punto A su una retta, c'è almeno
un punto che precede A e uno che segue
9.Presi due punti B e C su una retta, con
B che precede C, c'è almeno un punto A
della retta che segue B e precede C.
10.Una retta di un piano divide i punti del piano che non le appartengono in due
insiemi distinti tali che:
● se due punti appartengono allo stesso insieme, allora il segmento di cui sono
estremi non interseca la retta;
● se appartengono a insiemi diversi, allora il segmento interseca la retta.
11. Proprietà riflessiva: ogni figura è congruente a se stessa
12. Proprietà simmetrica delle congruenze
13. Proprietà transitiva delle congruenze
14. Sono congruenti fra loro: due rette, due semirette, due piani, due semipiani.
15. Una linea che congiunge un punto interno e un punto esterno di una linea chiusa
la interseca in almeno un punto.
16. Presi a piacere, in un piano, un punto e un segmento, esiste una sola circonfe-
renza che ha per centro quel punto e per raggio quel segmento.
17. Somme o differenze di segmenti congruenti sono congruenti.
18. Somme o differenze di angoli congruenti sono congruenti.
19. Per un segmento qualsiasi, esiste ed è unico il punto medio.
20. Per un angolo qualsiasi, esiste ed è unica la bisettrice.
21. Esiste ed è unico il sottomultiplo di un segmento, oppure di un angolo,
secondo un qualsiasi numero naturale diverso da O.
22. Multipli o sottomultipli secondo lo stesso numero di segmenti congruenti,
oppure di angoli congruenti, sono congruenti.

Questi li ho trovati sul libro delle superiori e credo che si ispirino ai postulati di Hilbert

[j18eos]

Scusate il ritardo (Massimo Troisi, R.I.P.): direi che basta usare il postulato 17!