[Geometria] Esercizio su cono circolare retto
Ciao a tutti!
Ho incontrato qualche problema nello svolgimento di questo problema di geometria di cui non ho soluzione. La traccia del problema è la seguente:
Rispetto ad un sistema di riferimento ortonormale, si consideri il cono circolare retto $\Theta$ di asse
$a$ : $ { ( x_1 = 1 + 2t ),( x_2 = -1 - t ),( x_3 = 1 - 2t):} $ e vertice $V = ((1),(-1),(1))$ e semiapertura $\pi /6$;
si indichi $P !in a $ e $P$ interno a $\Theta$.
Ho svolto l'esercizio trovando il vettore direttore dell'asse del cono che è $((2),(-1),(-2))$. Consideriamo una retta $r$ passante per il vertice $V$ e inclinata di un angolo minore di $\pi /6$, per esempio $\pi /3$ (in modo da assicurarci che sia interno al cono).
Inoltre, ho calcolato il vettore direttore $\vec b$ di $r$ che è uguale al vettore direttore dell'asse $\vec a / cos \alpha = 2 ((2),(-1),(-2)) = ((4),(-2),(-4))$. Quindi scrivo le equazioni della retta $r$ passante per $V$ e vettore direttore $\vec b$:
$r : { ( x_1 = 1 + 4t ),( x_2 = -1 - 2t),( x_3 = -4t ):} $
Se il cono è infinito, data la retta $r$ interna al cono, il generico punto $P in r$ e $P !in a$ si ottiene per ogni $t!=0$.
E' corretto procedere in questo modo? Ci tengo a precisare che nel programma del mio corso di algebra lineare non è prevista la parte di geometria. Il mio prof. sostiene che questi esercizi possono comunque essere comunque svolti ricorrendo al calcolo vettoriale o comunque ad argomenti già noti a qualsiasi studente del primo anno di un corso di ingegneria.
Aspetto una vostra risposta, grazie a tutti in anticipo!
Ho incontrato qualche problema nello svolgimento di questo problema di geometria di cui non ho soluzione. La traccia del problema è la seguente:
Rispetto ad un sistema di riferimento ortonormale, si consideri il cono circolare retto $\Theta$ di asse
$a$ : $ { ( x_1 = 1 + 2t ),( x_2 = -1 - t ),( x_3 = 1 - 2t):} $ e vertice $V = ((1),(-1),(1))$ e semiapertura $\pi /6$;
si indichi $P !in a $ e $P$ interno a $\Theta$.
Ho svolto l'esercizio trovando il vettore direttore dell'asse del cono che è $((2),(-1),(-2))$. Consideriamo una retta $r$ passante per il vertice $V$ e inclinata di un angolo minore di $\pi /6$, per esempio $\pi /3$ (in modo da assicurarci che sia interno al cono).
Inoltre, ho calcolato il vettore direttore $\vec b$ di $r$ che è uguale al vettore direttore dell'asse $\vec a / cos \alpha = 2 ((2),(-1),(-2)) = ((4),(-2),(-4))$. Quindi scrivo le equazioni della retta $r$ passante per $V$ e vettore direttore $\vec b$:
$r : { ( x_1 = 1 + 4t ),( x_2 = -1 - 2t),( x_3 = -4t ):} $
Se il cono è infinito, data la retta $r$ interna al cono, il generico punto $P in r$ e $P !in a$ si ottiene per ogni $t!=0$.
E' corretto procedere in questo modo? Ci tengo a precisare che nel programma del mio corso di algebra lineare non è prevista la parte di geometria. Il mio prof. sostiene che questi esercizi possono comunque essere comunque svolti ricorrendo al calcolo vettoriale o comunque ad argomenti già noti a qualsiasi studente del primo anno di un corso di ingegneria.
Aspetto una vostra risposta, grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Nessuno può aiutarmi?
Non ho capito: \(\displaystyle P \) è un punto generico interno al cono? Se sì, seguendo il tuo ragionamento, devi procedere con un generico angolo \(\displaystyle \alpha \) minore di \(\displaystyle \frac{\pi}{6} \) e non fissarlo. Inoltre, \(\displaystyle \frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{6} \) 
A parte l'errore banalissimo, si $P$ è un punto generico interno al cono. Io ho proceduto in questo modo perché non sapevo come risolvere il problema se non fissando un angolo minore della semiapertura del cono.
Up!
Sì, devi fissare un angolo minore di \(\displaystyle \frac{\pi}{6} \), ma dev'essere arbitrario, non puoi sceglierne soltanto uno altrimenti non prendi tutti i punti interni.
Ma la traccia richiede un punto $P$ qualsiasi..si potrebbe considerare un punto $A in a$ e un punto $B$ appartente alla retta passante per il vertice e con vettore direttore pari a $a/cos\alpha$ con $\alpha =\pi/6$?Facendo ad esempio il punto medio tra $A$ e $B$, non si otterrebbe un punto $P$ generico, interno al cono?
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