Geometria elementare:assiomi Hilbert ed esistenza ortogonale

[afullo]

Partendo solo dagli assiomi di Hilbert, dimostrare che, dato un punto e data una retta, esiste una perpendicolare a quella retta per quel punto. Si definisca la perpendicolare come la retta che interseca l'altra retta con un angolo retto, e si definisca un angolo retto come quello congruente al suo supplementare, definito a sua volta come l'angolo individuato dal prolungamento di una delle due semirette e dall'altra semiretta.

[mickey88]

Forse sarebbe meglio se provassi a proporre tu una strategia per dare la dimostrazione, poi gli altri utenti ti daranno una mano a correggere il tiro qualora ce ne sia bisogno

[afullo]

Credo di esserci:

Supponiamo che P non stia su l, e siano A e B due punti su l (assioma I-2). Allora, dalla parte opposta di P rispetto a l, esiste una semiretta AX-> tale per cui gli angoli per il quale AP’ = AP (C-1). Ora, il segmento PP’ interseca l, in un punto che chiamiamo Q, questo per definizione di parti opposte; potrà essere che Q = A, caso nel quale sarà che <-PP’-> perpendicolare ad l per definizione, oppure che Q non coincida con A, caso nel quale i triangoli PAQ e P’AQ sono congruenti per il criterio LAL. Pertanto, è perpendicolare ad l, sempre per definizione di perpendicolarità. Supponiamo ora che P stia su l. Dal momento che esistono punti che non stanno su l, possiamo tracciare una perpendicolare da uno di essi verso l, utilizzando i passi visti in precedenza, ottenendo in questo modo un angolo retto. Ora, possiamo identificare un angolo congruente a questo angolo retto con un vertice in P e un lato su l (per C-4): l’altro lato di questo angolo è parte di una retta passante per P e perpendicolare ad l.

[mickey88]

Ottimo!