Geometria ed algebra - applicazioni lineari
Sia $P_t$ : $R^3$ $\rightarrow$ $R^3$ un'applicazione lineare così definita:
$P_t$ ($x_1$, $x_2$, $x_3$) = ($x_1$ $+x_2$ $+tx_3$, $x_1$ $+x_3$, $tx_1$$+x_2$ $-x_3$)
I) scrivere la matrice A $P_t$ associata a $P_t$
II) per quali valori di t dim Ker $P_t$ = 1?
III) per quali valori di t $P_t$ è diagonalizzabile?
IV) Se t = 0 determinare gli autovalori di $P_0$ e un autospazio (a scelta)
V) se t = 3 determinare l'inversa di A $P_3$
VI) determinare un sottospazio supplementare di Ker $P_0$
Mi scuso innanzi tutto per gli innumerevoli errori che ho fatto nel pubblicare il messaggio precedentemente e cerco di rimediare quanto meglio
Ora per quanto riguarda il primo punto basta mettere a matrice le componenti di $P_t$: $A_Pt$ = $((1,1,t),(1,0,1),(t,1,-1))$ .
Il secondo punto invece richiede che la dimensione del nucleo sia uguale ad 1 e che quindi dobbiamo trovare quei valori di t tali che il rango della matrice risulti essere uguale a 2 (in questo caso dim KerP = 3-r(A) = 1) ma come faccio a calcolare il rango in funzione di t?
Il terzo punto, nel calcolo di questo determinante $|(1-L,1,t),(1,-L,1),(t,1,-1-L)|$ non riesco a proseguire dopo che mi trovo 3L + L $t^2$ - $L^3$ + 2t
Per il quarto punto sostituisco t a 0, calcolo il determinante di $|(1-L,1,0),(1,-L,1),(0,1,-1-L)|$ calcolo il determinante e mi trovo i tre autovalori $L_1$ = 0, $L_2$ = $sqrt(3)$, $L_3$ = $-sqrt(3)$ e per L = 0 l'autospazio è proprio $((1,1,0),(1,0,1),(0,1,-1))$;
Per quanto riguarda il punto cinque è una semplice regola di applicazione ed, infine, per il punto sei mi calcolo la dim di Ker $P_0$: $((1,1,0),(1,0,1),(0,1,-1))$ $\rightarrow$ $((1,1,0),(0,-1,1),(0,0,0))$ il rango è uguale al numero di pivot e quindi r=2, la dim Ker $P_0$ = 3-2=1 pongo la terza colonna $x_3$ = a e mi trovo il sottospazio ker $P_0$ = {(-a,a,a)/a € R)} una sua base è B = [(-1,1,1)] e quindi il sottospazio supplementare ha dim $H_2$ = 0 ciò implica che è $H_2$ = {0} perchè la dim del nucleo coincide con quella della base???
Questo è quanto so fare..potreste dirmi dove sbaglio e spiegarmi i punti incompleti?
$P_t$ ($x_1$, $x_2$, $x_3$) = ($x_1$ $+x_2$ $+tx_3$, $x_1$ $+x_3$, $tx_1$$+x_2$ $-x_3$)
I) scrivere la matrice A $P_t$ associata a $P_t$
II) per quali valori di t dim Ker $P_t$ = 1?
III) per quali valori di t $P_t$ è diagonalizzabile?
IV) Se t = 0 determinare gli autovalori di $P_0$ e un autospazio (a scelta)
V) se t = 3 determinare l'inversa di A $P_3$
VI) determinare un sottospazio supplementare di Ker $P_0$
Mi scuso innanzi tutto per gli innumerevoli errori che ho fatto nel pubblicare il messaggio precedentemente e cerco di rimediare quanto meglio
Ora per quanto riguarda il primo punto basta mettere a matrice le componenti di $P_t$: $A_Pt$ = $((1,1,t),(1,0,1),(t,1,-1))$ .
Il secondo punto invece richiede che la dimensione del nucleo sia uguale ad 1 e che quindi dobbiamo trovare quei valori di t tali che il rango della matrice risulti essere uguale a 2 (in questo caso dim KerP = 3-r(A) = 1) ma come faccio a calcolare il rango in funzione di t?
Il terzo punto, nel calcolo di questo determinante $|(1-L,1,t),(1,-L,1),(t,1,-1-L)|$ non riesco a proseguire dopo che mi trovo 3L + L $t^2$ - $L^3$ + 2t
Per il quarto punto sostituisco t a 0, calcolo il determinante di $|(1-L,1,0),(1,-L,1),(0,1,-1-L)|$ calcolo il determinante e mi trovo i tre autovalori $L_1$ = 0, $L_2$ = $sqrt(3)$, $L_3$ = $-sqrt(3)$ e per L = 0 l'autospazio è proprio $((1,1,0),(1,0,1),(0,1,-1))$;
Per quanto riguarda il punto cinque è una semplice regola di applicazione ed, infine, per il punto sei mi calcolo la dim di Ker $P_0$: $((1,1,0),(1,0,1),(0,1,-1))$ $\rightarrow$ $((1,1,0),(0,-1,1),(0,0,0))$ il rango è uguale al numero di pivot e quindi r=2, la dim Ker $P_0$ = 3-2=1 pongo la terza colonna $x_3$ = a e mi trovo il sottospazio ker $P_0$ = {(-a,a,a)/a € R)} una sua base è B = [(-1,1,1)] e quindi il sottospazio supplementare ha dim $H_2$ = 0 ciò implica che è $H_2$ = {0} perchè la dim del nucleo coincide con quella della base???
Questo è quanto so fare..potreste dirmi dove sbaglio e spiegarmi i punti incompleti?
Risposte
Guarda, te lo dico da amico: in poco meno di 2 ore hai infranto almeno 200 punti diversi del regolamento. Non sono un moderatore, ma ti consiglierei di correre ai ripari prima che il tuo sederino venga sculacciato!
[xdom="Seneca"]Ti invito a modificare il post scrivendo lo svolgimento fino a dove ti sei bloccato. Inoltre dovresti correggere i diversi caratteri che non risultano granché leggibili.[/xdom]
Fai un tentativo
così che si possa discutere.....
Giusto?
Ciao
Mino
così che si possa discutere.....
Giusto?
Ciao
Mino
Mi scuso e spero la modifica vada bene..
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