[Geometria e Algebra]Verifica di due esercizi
Salve, sto risolvendo qualche appello di Geometria e Algebra in vista dell'appello previsto dopo le feste.
Ho questo esercizio:
Fissato nello spazio un riferimento metrico, si determini l'equazione del piano passante per P (1,2,0) ed ortogonale al vettore u (0,1,-1).
Ho ragionato così: intanto, mi sono ricavato l'equazione del piano, quindi: a(x-1)+b(y-2)+c(z). Dopodiché, trattando il vettore u come vettore direttore, ho direttamente sostituito ai coefficienti a, b e c dell'equazione, rispettivamente, 0,1,-1 ottenendo l'equazione finale: y-z=2. Il risultato è questo. Ma non vorrei fosse solo una coincidenza. E' corretto?
Infine, un secondo esercizio...
Si determini l'insieme delle soluzioni dell'equazione lineare x-2y+z-2t=1 E questo non saprei proprio come risolverlo...cioè, non riesco a trovare un metodo per risolvere l'equazione lineare!
Vi sarei estremamente grato se poteste darmi una mano:)
Ho questo esercizio:
Fissato nello spazio un riferimento metrico, si determini l'equazione del piano passante per P (1,2,0) ed ortogonale al vettore u (0,1,-1).
Ho ragionato così: intanto, mi sono ricavato l'equazione del piano, quindi: a(x-1)+b(y-2)+c(z). Dopodiché, trattando il vettore u come vettore direttore, ho direttamente sostituito ai coefficienti a, b e c dell'equazione, rispettivamente, 0,1,-1 ottenendo l'equazione finale: y-z=2. Il risultato è questo. Ma non vorrei fosse solo una coincidenza. E' corretto?
Infine, un secondo esercizio...
Si determini l'insieme delle soluzioni dell'equazione lineare x-2y+z-2t=1 E questo non saprei proprio come risolverlo...cioè, non riesco a trovare un metodo per risolvere l'equazione lineare!
Vi sarei estremamente grato se poteste darmi una mano:)
Risposte
beh per il secondo.... hai un'equazione lineare in 4 incognite quindi hai sostanzialmente tre parametri liberi e quindi se ad esempio $x,y,z,t\in RR$ avrai che quell'equazione è un iperpiano affine in $RR^4$.
ciao
ciao
Lo so, ma come faccio a risolverla e quindi a determinarne l'insieme delle soluzioni?
per esempio espliciti rispetto ad x ed hai che $x=1+2y+2t-z$
dove $y,z,t$ sono parametri liberi e quindi variano ad esempio non so in $RR$ e quindi l'insieme delle soluzioni è dato da
${(x,y,z,t)\inRR^4\quad |\quad x=1+2y+2t-z,\quad y,z,t\in RR}$
dove $y,z,t$ sono parametri liberi e quindi variano ad esempio non so in $RR$ e quindi l'insieme delle soluzioni è dato da
${(x,y,z,t)\inRR^4\quad |\quad x=1+2y+2t-z,\quad y,z,t\in RR}$
Grazie mille per l'aiuto!
Un'ultima cosa...la scelta di considerare un parametro in funzione degli altri due è libera? Cioè, posso ricavarmi tanto x, quanto y, quanto z in funzione degli altri due?
Un'ultima cosa...la scelta di considerare un parametro in funzione degli altri due è libera? Cioè, posso ricavarmi tanto x, quanto y, quanto z in funzione degli altri due?
Sì, mi sono espresso male...comunque, a parte l'espressione, il mio metodo di risoluzione va bene? Grazie mille anche a te per l'aiuto!
semmai degli altri 3... comunque si è indifferente. uno vale l'altro
Ok. Però le soluzioni non me le dà in quella maniera...praticamente il risultato è questo: S=(1+a+c, b+c, c-a, -b). Come arrivo ad ottenerlo?
ma non capisco come tira fuori quelle relazioni. cioè sn corrette
in quanto ponendo x,y,z,t in quel modo viene. però nn saprei dire come vengono fuori
in quanto ponendo x,y,z,t in quel modo viene. però nn saprei dire come vengono fuori
Tutte così sono le soluzioni delle varie equazioni da risolvere...Non saprei proprio come ottenerle!
"gentah":
Si determini l'insieme delle soluzioni dell'equazione lineare x-2y+z-2t=1
E' molto semplice:
ricavati una variabile in funzione delle altre tre, ad esempio la $x$:
$x = 2y - z + 2t + 1$
a questo punto posso assegnare dei valori arbitrari alle variabili $y$, $z$ e $t$,
ottenendo in questo modo ($y=a$, $z=b$, $t=c$)
$((x),(y),(z),(t)) = ((1+2a-b+2c),(a),(b),(c)) = ((1),(0),(0),(0)) + a * ((2),(1),(0),(0)) + b * ((-1),(0),(1),(0)) + c * ((2),(0),(0),(1))$
questo è l'insieme delle soluzioni.
"gentah":
Ok. Però le soluzioni non me le dà in quella maniera...praticamente il risultato è questo: S=(1+a+c, b+c, c-a, -b). Come arrivo ad ottenerlo?
La soluzione che hai scritto è equivalente a quella che ho scritto io.
Quando si hanno infinite soluzioni si hanno più modi di scrivere i risultati.
"franced":
[quote="gentah"]
Si determini l'insieme delle soluzioni dell'equazione lineare x-2y+z-2t=1
E' molto semplice:
ricavati una variabile in funzione delle altre tre, ad esempio la $x$:
$x = 2y - z + 2t + 1$
a questo punto posso assegnare dei valori arbitrari alle variabili $y$, $z$ e $t$,
ottenendo in questo modo ($y=a$, $z=b$, $t=c$)
$((x),(y),(z),(t)) = ((1+2a-b+2c),(a),(b),(c)) = ((1),(0),(0),(0)) + a * ((2),(1),(0),(0)) + b * ((-1),(0),(1),(0)) + c * ((2),(0),(0),(1))$
questo è l'insieme delle soluzioni.[/quote]
La soluzione che riporti te si può scrivere così:
$((x),(y),(z),(t)) = ((1),(0),(0),(0)) + a * ((1),(0),(-1),(0)) + b * ((0),(1),(0),(-1)) + c * ((1),(1),(1),(0))$
il vettore $((1),(0),(0),(0))$ è nelle due soluzioni;
occupiamoci allora delle terne di vettori.
Ora dimostro che il "tuo" insieme di soluzioni è identico al mio facendo vedere che i "tuoi" tre vettori
$((1),(0),(-1),(0))$, $((0),(1),(0),(-1))$ e $((1),(1),(1),(0))$
si possono scrivere come combinazioni lineari dei "miei" vettori
$((2),(1),(0),(0))$, $((-1),(0),(1),(0))$ e $((2),(0),(0),(1))$:
$((1),(0),(-1),(0)) = 0 * ((2),(1),(0),(0)) + (-1) * ((-1),(0),(1),(0)) + 0 * ((2),(0),(0),(1))$
$((0),(1),(0),(-1)) = 1 * ((2),(1),(0),(0)) + 0 * ((-1),(0),(1),(0)) + (-1) * ((2),(0),(0),(1))$
$((1),(1),(1),(0)) = 1 * ((2),(1),(0),(0)) + 1 * ((-1),(0),(1),(0)) + 0 * ((2),(0),(0),(1))$
per concludere però dobbiamo anche verificare che i sottospazi generati dalle due terne di
vettori abbiano dimensione 3: questo si vede facilmente.
Chiaramente questa è una strada lunga, è più semplice verificare che le soluzioni proposte
verificano l'equazione cartesiana di partenza (sempre insieme alla verifica della dimensione
dei sottospazi generati dai vettori).
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