[Geometria differenziale] Tensore di curvatura sfera

[thedarkhero]

Considero la sfera $S^2$ in $RR^3$, con l'usuale prodotto scalare standard di $RR^3$.
Voglio calcolare il tensore di curvatura R.
La connessione di Levi-Civita di $RR^3$ con l'usuale prodotto scalare standard è la connessione piatta, cioè quella i cui simboli di Christoffel sono tutti nulli.
Allora anche i coefficienti del tensore di curvatura devono essere tutti nulli, visto che dipendono dai simboli di Christoffel e dalle loro derivate parziali, quindi il tensore di curvatura R è identicamente nullo.
Non mi torna però che R sia identicamente nullo, visto che la sfera è "curva" ovunque.
Dove ho sbagliato?

[solaàl]

https://math.stackexchange.com/question ... nit-sphere

I simboli di Christoffel della sfera non sono nulli, no?

[dissonance]

"thedarkhero":
La connessione di Levi-Civita di $RR^3$ con l'usuale prodotto scalare standard è la connessione piatta, cioè quella i cui simboli di Christoffel sono tutti nulli.

Sono nulli i simboli di Christoffel rispetto alle coordinate standard. Già in coordinate polari alcuni simboli non si annullano. I simboli di Christoffel non sono un tensore, quindi il fatto che in un sistema di coordinate si annullino tutti e in un altro no non è contraddittorio.

Allora anche i coefficienti del tensore di curvatura devono essere tutti nulli, visto che dipendono dai simboli di Christoffel e dalle loro derivate parziali, quindi il tensore di curvatura R è identicamente nullo.

No. Le coordinate standard di \(\mathbb R^n\) non sono coordinate della sfera.