Geometria differenziale: sottovarietà non regolari
Un po' di definizioni (metto in spoiler per non appesantire troppo il messaggio):
Sia [tex]S \subset M'[/tex] una sottovarietà differenziabile di [tex]M'[/tex] e sia [tex]\mu \colon M \to M'[/tex] differenziabile e tale che [tex]\mu(M) \subset S[/tex]. Verrebbe naturale dire che allora l'applicazione ridotta [tex]\mu \colon M \to S[/tex] è differenziabile, ma sospetto che non sia vero.
In particolare, se [tex]S[/tex] non è una sottovarietà regolare, presumo che potrebbe addirittura essere che l'applicazione ridotta non è continua. Mentre se [tex]S[/tex] è regolare la mia congettura (ma è più che altro una scommessa, non basata su convinzioni sicure) è che la proposizione sia vera. Ho ragione?
Sia [tex]S \subset M'[/tex] una sottovarietà differenziabile di [tex]M'[/tex] e sia [tex]\mu \colon M \to M'[/tex] differenziabile e tale che [tex]\mu(M) \subset S[/tex]. Verrebbe naturale dire che allora l'applicazione ridotta [tex]\mu \colon M \to S[/tex] è differenziabile, ma sospetto che non sia vero.
In particolare, se [tex]S[/tex] non è una sottovarietà regolare, presumo che potrebbe addirittura essere che l'applicazione ridotta non è continua. Mentre se [tex]S[/tex] è regolare la mia congettura (ma è più che altro una scommessa, non basata su convinzioni sicure) è che la proposizione sia vera. Ho ragione?
Risposte
Ciao "dissonance",
non riesco bene a cogliere le tue considerazioni, anche perchè non conosco la differenza tra embedding ed embedding regolare...nel senso che la definizione di embedding che conosco io coincide con quella che tu definisci embedding regolare.
Allora (quello che so io è che) se $\mu$ è un embedding, allora $\mu$ è anche un diffeomorfismo...questo perchè $\mu$ per essere un embedding, dev'essere prima di tutto una immersione e questo significa che $\mu_p$ deve essere iniettivo (cioè $\mu_p$ deve essere invertibile) in più, essendo che per essere un embedding, $\mu$ deve essere anche un omeomorfismo con la sua immagine (cioè continua, invertibile con inversa continua), avrò che l’unione di queste caratteristiche equivale ad un diffeomorfismo ($\mu$ applicazione differenziabile, invertibile con differenziale invertibile).
Dunque l'applicazione ridotta $\mu:M->S$ è un diffeomorfismo.
In linea di massima, credo che comunque sia sufficiente dire che $\mu:M->M'$ sia differenziabile per dire che anche $\mu:M->\mu(M)$ lo è! perchè dire che l'applicazione $\mu$ è definita in $M$ a valori in $M'$ non comporta necessariamente la suriettività di $\mu$.
Comunque sentiamo il parere di qualcun'altro!
non riesco bene a cogliere le tue considerazioni, anche perchè non conosco la differenza tra embedding ed embedding regolare...nel senso che la definizione di embedding che conosco io coincide con quella che tu definisci embedding regolare.
Allora (quello che so io è che) se $\mu$ è un embedding, allora $\mu$ è anche un diffeomorfismo...questo perchè $\mu$ per essere un embedding, dev'essere prima di tutto una immersione e questo significa che $\mu_p$ deve essere iniettivo (cioè $\mu_p$ deve essere invertibile) in più, essendo che per essere un embedding, $\mu$ deve essere anche un omeomorfismo con la sua immagine (cioè continua, invertibile con inversa continua), avrò che l’unione di queste caratteristiche equivale ad un diffeomorfismo ($\mu$ applicazione differenziabile, invertibile con differenziale invertibile).
Dunque l'applicazione ridotta $\mu:M->S$ è un diffeomorfismo.
In linea di massima, credo che comunque sia sufficiente dire che $\mu:M->M'$ sia differenziabile per dire che anche $\mu:M->\mu(M)$ lo è! perchè dire che l'applicazione $\mu$ è definita in $M$ a valori in $M'$ non comporta necessariamente la suriettività di $\mu$.
Comunque sentiamo il parere di qualcun'altro!
Ciao Alex, grazie per la risposta. Sto facendo una ricerca su questo argomento, speravo di finire stasera ma purtroppo non faccio in tempo, quindi rinvio a domani l'esposizione di quello che ho trovato. Credo di capire che le tue considerazioni sono valide se assumi a priori che $mu$ abbia l'inversa sinistra continua (intendo la mappa $mu( M) \to M$ che composta a sinistra con $mu$ dà l'identità di $M$), come infatti tu fai perché consideri solo embedding regolari. Se non assumi questo a priori, ci sono esempi di sottovarietà non regolari (secondo la definizione che dicevo prima) che fanno strani scherzi con la continuità (e quindi con la differenziabilità) delle applicazioni.
"dissonance":
Se non assumi questo a priori, ci sono esempi di sottovarietà non regolari (secondo la definizione che dicevo prima) che fanno strani scherzi con la continuità (e quindi con la differenziabilità) delle applicazioni.
Si certo, ma è l'inversa di $\mu$ che può perdere la continuità non $\mu$ in quanto questa è definita differenziabile... se può esserti utile, un esempio potrebbe essere questo (l'ho tratto da una dispensa di geometria superiore di Luca Lussardi, il mio mentore
)
L'applicazione $\gamma$ tra varietà è un'immersione iniettiva, ed è continua poichè differenziabile in ogni punto. Però non è un embedding perchè ti salta la continuità dell'inversa, nonostante gamma sia invertibile. infatti l'intervallo aperto di partenza non è omeomorfo all'immagine (che è chiusa) di gamma.
Io non considero embedding l'immersione iniettiva, ma considero embedding solo quello che tu definisci embedding regolare.
Cosa ne pensi?
Hai fatto bene a fare questo esempio. Tu ti rifiuti di considerare embedding questa applicazione $gamma$, giustamente perché non essendo omeomorfismo sulla propria immagine ti aspetti che creerà problemi. Altri autori, invece, la considerano tale e infatti vanno incontro a problemi.
Proprio adesso sto sbattendo la testa contro una proposizione dello Spivak A comprehensive introduction to differential geometry (3 ed, 1999), che non è numerata ma si trova a pagina 47. Secondo me è proprio sbagliata e non è recuperabile se non aggiungendo l'ipotesi di regolarità di cui stiamo parlando. Te la propongo, vediamo se sei d'accordo.
Proposizione. Siano $M_1$ una k-varietà e $M$ una n-varietà con $k<=n$, $M_1 \subset M$. Supponiamo che l'inclusione canonica $j: M_1 \to M$ sia una immersione ingettiva. Allora $\forall p_1 \in M_1$ e $\forall U_1$ intorno di $p_1$ in $M_1$ esiste un sistema di coordinate $(V, y)$ in $M$ tale che
$V nn U_1 = {q \in V\ :\ y^{k+1}(q)=...=y^{n}(q)=0 }$
Il risultato è, per me, falso e mi convince in questo un disegno presente nella stessa pagina:
Il disegno della retta che si avvolge su se stessa è un classico (credo) esempio di immersione ingettiva $RR \to RR^2$ che non è un embedding regolare. E infatti prendendo come punto $p_1$ il punto in cui la retta si avvolge (la punta della freccia) e come intorno aperto $U_1$ tutta la varietà $M_1$, la tesi non può essere vera. (Credo).
E' una questione un po' fastidiosa, comunque. Se hai tempo e voglia di pensarci, bene, altrimenti non fa niente.
Proprio adesso sto sbattendo la testa contro una proposizione dello Spivak A comprehensive introduction to differential geometry (3 ed, 1999), che non è numerata ma si trova a pagina 47. Secondo me è proprio sbagliata e non è recuperabile se non aggiungendo l'ipotesi di regolarità di cui stiamo parlando. Te la propongo, vediamo se sei d'accordo.
Proposizione. Siano $M_1$ una k-varietà e $M$ una n-varietà con $k<=n$, $M_1 \subset M$. Supponiamo che l'inclusione canonica $j: M_1 \to M$ sia una immersione ingettiva. Allora $\forall p_1 \in M_1$ e $\forall U_1$ intorno di $p_1$ in $M_1$ esiste un sistema di coordinate $(V, y)$ in $M$ tale che
$V nn U_1 = {q \in V\ :\ y^{k+1}(q)=...=y^{n}(q)=0 }$
Il risultato è, per me, falso e mi convince in questo un disegno presente nella stessa pagina:
Il disegno della retta che si avvolge su se stessa è un classico (credo) esempio di immersione ingettiva $RR \to RR^2$ che non è un embedding regolare. E infatti prendendo come punto $p_1$ il punto in cui la retta si avvolge (la punta della freccia) e come intorno aperto $U_1$ tutta la varietà $M_1$, la tesi non può essere vera. (Credo).
E' una questione un po' fastidiosa, comunque. Se hai tempo e voglia di pensarci, bene, altrimenti non fa niente.
Ciao "dissonance",
scusami, ma in questo week-end non sono riuscito a collegarmi.....
...appena ho un po' di tempo provo a studiarmi il tuo problema!
scusami, ma in questo week-end non sono riuscito a collegarmi.....
...appena ho un po' di tempo provo a studiarmi il tuo problema!
Ciao "dissonance",
ho provato a guardare ora (un po' velocemente), ma quello che leggo mi pare sia corretto.....
nel senso che, quell'esempio penso faccia fede al th del rango costante, ossia trovandoci di fronte ad una immersione ingettiva, abbiamo sicuramente che il rango dell'applicazione $j$ sarà costante ed equivalente alla dimensione di $M1$.
Questo signfica che:
per ogni $p$ appartenente a $M1$ esisterà una carta locale $(U,\phi)$ di $M1$ ed una carta locale $(V, \psi)$ di $M$, tale per cui:
$\psi^-1$ o $j$ o $\phi(y_1,....,y_k)=(y_1,.....,y_k,0,...,0)$
ossia l'immagine di $j$ ha dimensione pari a $M1$.
Il tuo esempio, da quanto ho capito io (sarebbe interessante sentire anche il parere di qualcun'altro), credo stia dicendo questo, ossia le componenti
$(y_(k+1),......,y_n)$ (che rappresentano le dimensioni "aggiunte" a quelle di $M1$) sono tutte nulle!
...e per sostenere questo non occorre avere embedding regolare, ma è sufficiente l'immersione!
Ti torna?
ho provato a guardare ora (un po' velocemente), ma quello che leggo mi pare sia corretto.....
nel senso che, quell'esempio penso faccia fede al th del rango costante, ossia trovandoci di fronte ad una immersione ingettiva, abbiamo sicuramente che il rango dell'applicazione $j$ sarà costante ed equivalente alla dimensione di $M1$.
Questo signfica che:
per ogni $p$ appartenente a $M1$ esisterà una carta locale $(U,\phi)$ di $M1$ ed una carta locale $(V, \psi)$ di $M$, tale per cui:
$\psi^-1$ o $j$ o $\phi(y_1,....,y_k)=(y_1,.....,y_k,0,...,0)$
ossia l'immagine di $j$ ha dimensione pari a $M1$.
Il tuo esempio, da quanto ho capito io (sarebbe interessante sentire anche il parere di qualcun'altro), credo stia dicendo questo, ossia le componenti
$(y_(k+1),......,y_n)$ (che rappresentano le dimensioni "aggiunte" a quelle di $M1$) sono tutte nulle!
...e per sostenere questo non occorre avere embedding regolare, ma è sufficiente l'immersione!
Ti torna?
Ciao Alex, scussa il ritardo. Per capire bene sto studiando la faccenda anche da un altro testo, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups di Frank Warner. Ecco cosa ho concluso.
Quello che dice lo stralcio citato nel mio post precedente non è propriamente quello che dici tu, per due motivi:
1) Perché lui pretende di poter scegliere a priori l'intorno $U_1$. Saremo d'accordo che questo non è possibile, a meno che la sottovarietà non sia regolare (continuo ad usare le notazioni del mio primo post anche se ormai vedo che non sono standard). In questo caso (e solo in questo, credo) si potrà prendere come intorno $U_1$ tutta la sottovarietà. Vedi Warner 1983, §1.35.
2) Perché con la dimostrazione che hai fornito, mostri solamente che l'insieme degli zeri di $y^(k+1), ..., y^(n) $ contiene $U_1 nn V$, ovvero che ogni punto di $U_1nnV$ annulla le suddette coordinate locali. Mentre la tesi è l'uguaglianza tra $U_1 nn V$ e l'insieme degli zeri di $y^(k+1), ..., y^(n) $. Resta da dimostrare l'altra inclusione.
Comunque il risultato è vero, se lasciamo cadere la richiesta di scegliere a priori $U_1$ oppure ci limitiamo a sottovarietà regolari, come mostrato nel già citato §1.35 di Warner.
Quello che dice lo stralcio citato nel mio post precedente non è propriamente quello che dici tu, per due motivi:
1) Perché lui pretende di poter scegliere a priori l'intorno $U_1$. Saremo d'accordo che questo non è possibile, a meno che la sottovarietà non sia regolare (continuo ad usare le notazioni del mio primo post anche se ormai vedo che non sono standard). In questo caso (e solo in questo, credo) si potrà prendere come intorno $U_1$ tutta la sottovarietà. Vedi Warner 1983, §1.35.
2) Perché con la dimostrazione che hai fornito, mostri solamente che l'insieme degli zeri di $y^(k+1), ..., y^(n) $ contiene $U_1 nn V$, ovvero che ogni punto di $U_1nnV$ annulla le suddette coordinate locali. Mentre la tesi è l'uguaglianza tra $U_1 nn V$ e l'insieme degli zeri di $y^(k+1), ..., y^(n) $. Resta da dimostrare l'altra inclusione.
Comunque il risultato è vero, se lasciamo cadere la richiesta di scegliere a priori $U_1$ oppure ci limitiamo a sottovarietà regolari, come mostrato nel già citato §1.35 di Warner.
"dissonance":Visto che ci sono, segnalo anche che la risposta a questa domanda è si. Si tratta di un risultato ben noto, vedo, ma lascio comunque due riferimenti nel caso a qualcuno serva la dimostrazione: Warner §1.32, Spivak §2.11.
In particolare, se [tex]S[/tex] non è una sottovarietà regolare, presumo che potrebbe addirittura essere che l'applicazione ridotta non è continua. Mentre se [tex]S[/tex] è regolare la mia congettura (ma è più che altro una scommessa, non basata su convinzioni sicure) è che la proposizione sia vera. Ho ragione?
"dissonance":Visto che ci sono, segnalo anche che la risposta a questa domanda è si. Si tratta di un risultato ben noto, vedo, ma lascio comunque due riferimenti nel caso a qualcuno serva la dimostrazione: Warner §1.32, Spivak §2.11.[/quote]
[quote="dissonance"]In particolare, se [tex]S[/tex] non è una sottovarietà regolare, presumo che potrebbe addirittura essere che l'applicazione ridotta non è continua. Mentre se [tex]S[/tex] è regolare la mia congettura (ma è più che altro una scommessa, non basata su convinzioni sicure) è che la proposizione sia vera. Ho ragione?
Si questo, secondo me, è vero se $\mu(M)subS$, ma se $\mu(M)=S$ allora anche se $\mu$ non è un embedding, ma solo un'immersione, l'applicazione ridotta $\mu:M->\mu(M)$ non può perdere di continuità, perchè $\mu$ è differenziabile da definizione iniziale.
"dissonance":
Quello che dice lo stralcio citato nel mio post precedente non è propriamente quello che dici tu, per due motivi:
1) Perché lui pretende di poter scegliere a priori l'intorno $U_1$.
Non ne sono convinto, perchè il th del rango costante ci dice che:
per ogni $p$ appartenente a $M$ esisterà una carta locale $(U,\phi)$ di $M$ ed una carta locale $(V,\psi)$ di $M'$ , tale per cui:
$\psi^-1$ o $j$ o $\phi(y_1,...,y_k)=(y_1,...,y_k,0,...,0)$
Qui, penso, che il discorso sia estendibile anche se $M$ ha più carte, cioè potrebbero esserci altri punti $p_0$ sempre di $M$ per i quali esiste la carta $(U_0,\phi_0)$ ed una locale $(V_0,\psi_0)$ di $M'$ tale per cui:
$\psi_0^-1$ o $j$ o $\phi_0(y_1,...,y_k)=(y_1,...,y_k,0,...,0)$
e così via...
Però sarebbe bello sentire anche le idee di altri, solo che mi sa che qui ci hanno abbandonato!
No Alex, è falso se hai solo una immersione (sempre se ho capito bene cosa intendi). La proposizione sicuramente vera è questa:
Sia [tex]M_1 \subset M[/tex] tale che l'ingezione naturale [tex]j\colon M_1 \to M[/tex] sia una immersione (sottovarietà non necessariamente regolare, secondo il primo post). Sia poi [tex]f \colon N \to M[/tex] una applicazione differenziabile tale che [tex]f(N) \subset M_1[/tex]. Se [tex]f[/tex] è continua come applicazione [tex]N \to M_1[/tex], allora [tex]f[/tex] è differenziabile come applicazione [tex]N \to M_1[/tex]. In particolare questo è vero se [tex]j[/tex] è un embedding regolare, perché in questo caso la topologia di [tex]M_1[/tex] è quella di sottospazio topologico di [tex]M[/tex].
Se ti serve espongo la dimostrazione. Adesso però mi sembra più importante citare un esempio che mostri come una applicazione [tex]f[/tex] come sopra può non essere continua se ristretta ad [tex]M_1[/tex]:
[tex]M_1[/tex], quella specie di otto, è l'immagine di una immersione definita su [tex]\mathbb{R}[/tex] che, al tendere all'infinito della variabile, tende a chiudersi su sé stessa come indicato dalle frecce. Se vuoi possiamo trovarne una espressione analitica, non è difficile. Questa immersione non è regolare, perché chiaramente il punto centrale dell'otto darà problemi. E infatti prendi una curva regolare [tex]f[/tex] contenuta nell'otto e passante dal punto centrale: se vista come una applicazione [tex]f \colon (a, b) \to M_1[/tex] non è continua.
Era questo che intendevi? Comunque è un esempio interessante.
Sia [tex]M_1 \subset M[/tex] tale che l'ingezione naturale [tex]j\colon M_1 \to M[/tex] sia una immersione (sottovarietà non necessariamente regolare, secondo il primo post). Sia poi [tex]f \colon N \to M[/tex] una applicazione differenziabile tale che [tex]f(N) \subset M_1[/tex]. Se [tex]f[/tex] è continua come applicazione [tex]N \to M_1[/tex], allora [tex]f[/tex] è differenziabile come applicazione [tex]N \to M_1[/tex]. In particolare questo è vero se [tex]j[/tex] è un embedding regolare, perché in questo caso la topologia di [tex]M_1[/tex] è quella di sottospazio topologico di [tex]M[/tex].
Se ti serve espongo la dimostrazione. Adesso però mi sembra più importante citare un esempio che mostri come una applicazione [tex]f[/tex] come sopra può non essere continua se ristretta ad [tex]M_1[/tex]:
[tex]M_1[/tex], quella specie di otto, è l'immagine di una immersione definita su [tex]\mathbb{R}[/tex] che, al tendere all'infinito della variabile, tende a chiudersi su sé stessa come indicato dalle frecce. Se vuoi possiamo trovarne una espressione analitica, non è difficile. Questa immersione non è regolare, perché chiaramente il punto centrale dell'otto darà problemi. E infatti prendi una curva regolare [tex]f[/tex] contenuta nell'otto e passante dal punto centrale: se vista come una applicazione [tex]f \colon (a, b) \to M_1[/tex] non è continua.
Era questo che intendevi? Comunque è un esempio interessante.
"Alexp":Li capisco: è un discorso abbastanza complicato e pesantuccio come notazioni. Ma mi sa che tutta la geometria differenziale è così.
Però sarebbe bello sentire anche le idee di altri, solo che mi sa che qui ci hanno abbandonato!
P.S: Ah, ovviamente scrivevo il mio messaggio precedente contemporaneamente a te. La risposta è riferita alla tua affermazione
"Alexp":Sul tuo secondo messaggio devo riflettere un po'.
Si questo, secondo me, è vero se $\mu(M)subS$, ma se $\mu(M)=S$ allora anche se $\mu$ non è un embedding, ma solo un'immersione, l'applicazione ridotta $\mu:M->\mu(M)$ non può perdere di continuità, perchè $\mu$ è differenziabile da definizione iniziale.
Non capisco bene cosa intendi...cioè se $f$ è un'applicazione diversa da $j$, allora si, $f$ può anche non essere continua, ma questo anche se $j$ è un embedding regolare...ma mi sa che non ho capito i tuoi intenti!
Ciao "dissonance",
riguardando il Sernesi 2, ho trovato la proposizione 25.4 a pagina 215, con al seguito la dimostrazione che qui non sto a riportare....
PROPOSIZIONE
Se $f:X->Y$ è un'immersione allora ogni punto $x \in X$ possiede almeno un intorno aperto $V$ tale che la restrizione $f|_V:V->Y$ sia una inclusione differenziabile (ossia un embedding regolare come da tua definizione).
Può esserti di interesse?
riguardando il Sernesi 2, ho trovato la proposizione 25.4 a pagina 215, con al seguito la dimostrazione che qui non sto a riportare....
PROPOSIZIONE
Se $f:X->Y$ è un'immersione allora ogni punto $x \in X$ possiede almeno un intorno aperto $V$ tale che la restrizione $f|_V:V->Y$ sia una inclusione differenziabile (ossia un embedding regolare come da tua definizione).
Può esserti di interesse?
Grazie della segnalazione, Alex. Vuoi sapere una cosa curiosa? In questo momento ho sotto gli occhi proprio quel libro (stavo dando una controllata al forum prima di mettermi a leggerlo) aperto a pagina 213. Devo solo girare una pagina! Se non è comodità questa...
Caspita, telepatici
Fino adesso questo topic è stato abbastanza confusionario. In realtà questa stessa confusione si ritrova anche in letteratura, visto che su questo argomento ogni autore adotta un linguaggio differente. In questo post raccolgo tre definizioni di sottovarietà regolare e richiamo alle dimostrazioni della loro equivalenza. Messo al sicuro il concetto di sottovarietà regolare, si potrà discutere per bene di cosa sia una sottovarietà non regolare.
Sia [tex]M[/tex] una varietà differenziabile di dimensione [tex]n[/tex]. In quanto segue [tex]\mathfrak{A}_M[/tex] indica la famiglia degli aperti dello spazio topologico [tex]M[/tex] e [tex]\mathfrak{A}_M(p)[/tex] la famiglia degli intorni aperti del punto [tex]p[/tex].
Def. 1) (Questa viene dal Sernesi e dalle dispense di Luca Lussardi)
Un sottospazio topologico [tex]N[/tex] di [tex]M[/tex] si dice sottovarietà differenziabile di dimensione [tex]m[/tex] sse [tex]\forall p \in N\ \exists\,U_p \in \mathfrak{A}_M(p),\ \exists\,\bar{F}_p\colon U_p \to \mathbb{R}^m\ \text{differenziabile}[/tex] tali che:
a) Detta [tex]F_p[/tex] la restrizione di [tex]\bar{F}_p[/tex] a [tex]U_p \cap N[/tex], essa è una bigezione su[tex]V_p \in \mathfrak{A}_{\mathbb{R}^m}[/tex] ;
b) [tex]F_p^{-1}[/tex] è differenziabile come applicazione [tex]V_p \subset \mathbb{R}^m \to M[/tex] .
In questo caso la famiglia [tex]\{(U_p \cup N, F_p ) \}_{p \in N}[/tex] è un atlante differenziabile su [tex]N[/tex] .
Def. 2) (Questa è quella che abbiamo discusso finora)
Una coppia [tex](N, \psi)[/tex], dove [tex]N[/tex] è una varietà differenziabile e [tex]\psi[/tex] un imbedding regolare di [tex]N[/tex] in [tex]M[/tex] si dice sottovarietà differenziabile di M. Sulla classe delle sottovarietà è possibile introdurre una opportuna relazione di equivalenza tale che ogni classe ha esattamente un rappresentante [tex](N, j )[/tex], dove [tex]N \subset M[/tex] e [tex]j[/tex] è l'inclusione naturale. Nel seguito considereremo solo sottovarietà di questo tipo.
Def. 3) (Per sezioni)
Un sottospazio topologico [tex]N \subset M[/tex] si dice sottovarietà differenziabile di codimensione k sse [tex]\forall\, p \in N\ \exists U \in \mathfrak{A}_M(p),\ \exists F \colon U \to \mathbb{R}^k\ \text{differenziabile}[/tex] tale che:
1) [tex]F[/tex] ha rango massimo in [tex]U[/tex] (i.e. [tex]F[/tex] non ha punti critici);
2) [tex]N \cap U = \{ x \in U \mid F(x)=0 \}[/tex]
(ovvero [tex]N[/tex] è localmente il luogo degli zeri di mappe differenziabili di rango opportuno).
Sia [tex]M[/tex] una varietà differenziabile di dimensione [tex]n[/tex]. In quanto segue [tex]\mathfrak{A}_M[/tex] indica la famiglia degli aperti dello spazio topologico [tex]M[/tex] e [tex]\mathfrak{A}_M(p)[/tex] la famiglia degli intorni aperti del punto [tex]p[/tex].
Def. 1) (Questa viene dal Sernesi e dalle dispense di Luca Lussardi)
Un sottospazio topologico [tex]N[/tex] di [tex]M[/tex] si dice sottovarietà differenziabile di dimensione [tex]m[/tex] sse [tex]\forall p \in N\ \exists\,U_p \in \mathfrak{A}_M(p),\ \exists\,\bar{F}_p\colon U_p \to \mathbb{R}^m\ \text{differenziabile}[/tex] tali che:
a) Detta [tex]F_p[/tex] la restrizione di [tex]\bar{F}_p[/tex] a [tex]U_p \cap N[/tex], essa è una bigezione su[tex]V_p \in \mathfrak{A}_{\mathbb{R}^m}[/tex] ;
b) [tex]F_p^{-1}[/tex] è differenziabile come applicazione [tex]V_p \subset \mathbb{R}^m \to M[/tex] .
In questo caso la famiglia [tex]\{(U_p \cup N, F_p ) \}_{p \in N}[/tex] è un atlante differenziabile su [tex]N[/tex] .
Def. 2) (Questa è quella che abbiamo discusso finora)
Una coppia [tex](N, \psi)[/tex], dove [tex]N[/tex] è una varietà differenziabile e [tex]\psi[/tex] un imbedding regolare di [tex]N[/tex] in [tex]M[/tex] si dice sottovarietà differenziabile di M. Sulla classe delle sottovarietà è possibile introdurre una opportuna relazione di equivalenza tale che ogni classe ha esattamente un rappresentante [tex](N, j )[/tex], dove [tex]N \subset M[/tex] e [tex]j[/tex] è l'inclusione naturale. Nel seguito considereremo solo sottovarietà di questo tipo.
Def. 3) (Per sezioni)
Un sottospazio topologico [tex]N \subset M[/tex] si dice sottovarietà differenziabile di codimensione k sse [tex]\forall\, p \in N\ \exists U \in \mathfrak{A}_M(p),\ \exists F \colon U \to \mathbb{R}^k\ \text{differenziabile}[/tex] tale che:
1) [tex]F[/tex] ha rango massimo in [tex]U[/tex] (i.e. [tex]F[/tex] non ha punti critici);
2) [tex]N \cap U = \{ x \in U \mid F(x)=0 \}[/tex]
(ovvero [tex]N[/tex] è localmente il luogo degli zeri di mappe differenziabili di rango opportuno).
- [edit: Aggiungo una definizione 4 che vale solo per sottovarietà di [tex]\mathbb{R}^n[/tex]]
Def. 4) (Per grafici di applicazioni differenziabili)
Un sottospazio topologico [tex]N \subset \mathbb{R}^n[/tex] si dice sottovarietà differenziabile di codimensione k sse [tex]\forall\, p \in N \ \exists U_p \in \mathfrak{A}_{\mathbb{R}^n}(p)[/tex] tale che [tex]U_p \cap N[/tex] coincide con il grafico di una applicazione differenziabile [tex]f_p\colon A_p \subset \mathbb{R}^{n-k} \to \mathbb{R}^k[/tex].
[/edit]
[/list:u:gh9pksjh]
[tex]1) \Rightarrow 2)[/tex] vedi Lussardi pag.20, §2.2.3 per mostrare che [tex]j[/tex] è una immersione. Il fatto che sia anche ingettiva è ovvio, e che sia regolare è equivalente alla richiesta che [tex]N[/tex] abbia la topologia di sottospazio.
[tex]2) \Rightarrow 3)[/tex] vedi Warner §1.35 (oppure la dimostrazione proposta da Alex in questo topic, che però io continuo a considerare incompleta).
[tex]3) \Rightarrow 1)[/tex] la scrivo io più tardi.
- [edit]
[tex]3) \iff 4)[/tex] Vedi Fusco-Marcellini-Sbordone capitolo 12. L'implicazione [tex]3) \Rightarrow 4)[/tex] è chiaramente una applicazione del teorema del Dini.
[/edit][/list:u:gh9pksjh]
[tex]3) \Rightarrow 1)[/tex] Siano [tex]p\inN \subset M, U\in \mathfrak{A}_M(p), F \colon U \to \mathbb{R}^k[/tex] come al punto [tex]3)[/tex]. Dette [tex]F^1 \dots F^k[/tex] le funzioni coordinate di [tex]F[/tex], risulta che i differenziali [tex]d_pF^1 \ldots d_pF^k[/tex] sono linearmente indipendenti. Questo si può dimostrare in vari modi, qui scelgo quello più rozzo: scelto un sistema di coordinate [tex]x^1 \ldots x^n[/tex] per [tex]M[/tex] in [tex]p[/tex], la relativa matrice Jacobiana di [tex]F[/tex] (mi riferisco a [tex]\displaystyle \begin{bmatrix} \frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p) \end{bmatrix}_{\substack{1\le i \le k \\ 1 \le j \le n}}[/tex]) ha rango massimo quindi le proprie righe sono linearmente indipendenti; e le righe di questa matrice sono esattamente le [tex]n[/tex]-uple di componenti dei differenziali [tex]d_pF^1 \ldots d_pF^k[/tex] rispetto alla base [tex]d_px^1 \ldots d_px^n[/tex]. Possiamo allora completare l'insieme [tex]\{ d_pF^1\ldots d_p F^k \}[/tex] ad una base di [tex]T^\star_p(M)[/tex] aggiungendovi opportuni differenziali [tex]\{ d_px^{i_1} \ldots d_p x^{i_{n-k}} \}[/tex].
Questa costruzione ha prodotto un insieme, [tex]\{ F^1 \ldots F^k, x^{i_1} \ldots x^{i_{n-k}} \}[/tex] di [tex]n[/tex] funzioni differenziabili, definite in un intorno di [tex]p[/tex] e i cui differenziali sono linearmente indipendenti. Dal teorema della funzione inversa segue facilmente che in un intorno di [tex]p[/tex] questo insieme di funzioni è un sistema di coordinate locali di [tex]M[/tex]. Chiamiamo [tex]\bar{F}_p=(x^{i_1} \ldots x^{i_{n-k}})[/tex].
Essendo l'applicazione [tex](F, \bar{F}_p)[/tex] una carta locale di [tex]M[/tex] essa è un diffeomorfismo tra un intorno aperto di [tex]p[/tex] ed un aperto di [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Da qui segue che [tex]\bar{F}_p[/tex] ha le proprietà volute: infatti definendo [tex]\pi: \{0 \in \mathbb{R}^k\} \times \mathbb{R}^{n-k} \to \mathbb{R}^{n-k},\ \pi (0, x)=x[/tex], che è evidentemente un diffeomorfismo, si ottiene che [tex]\bar{F}_p|_N= \pi \circ (F, \bar{F}_p)|_N[/tex], e si vede subito che l'applicazione a secondo membro è bigettiva e ha l'inversa differenziabile.
Questa costruzione ha prodotto un insieme, [tex]\{ F^1 \ldots F^k, x^{i_1} \ldots x^{i_{n-k}} \}[/tex] di [tex]n[/tex] funzioni differenziabili, definite in un intorno di [tex]p[/tex] e i cui differenziali sono linearmente indipendenti. Dal teorema della funzione inversa segue facilmente che in un intorno di [tex]p[/tex] questo insieme di funzioni è un sistema di coordinate locali di [tex]M[/tex]. Chiamiamo [tex]\bar{F}_p=(x^{i_1} \ldots x^{i_{n-k}})[/tex].
Essendo l'applicazione [tex](F, \bar{F}_p)[/tex] una carta locale di [tex]M[/tex] essa è un diffeomorfismo tra un intorno aperto di [tex]p[/tex] ed un aperto di [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Da qui segue che [tex]\bar{F}_p[/tex] ha le proprietà volute: infatti definendo [tex]\pi: \{0 \in \mathbb{R}^k\} \times \mathbb{R}^{n-k} \to \mathbb{R}^{n-k},\ \pi (0, x)=x[/tex], che è evidentemente un diffeomorfismo, si ottiene che [tex]\bar{F}_p|_N= \pi \circ (F, \bar{F}_p)|_N[/tex], e si vede subito che l'applicazione a secondo membro è bigettiva e ha l'inversa differenziabile.
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