[Geometria differenziale] Lunghezza del cerchio geodetico: dimostrazione o referenza
Buondì, mi trovo nella seguente situazione:
sia $M$ una varietà Riemanniana compatta (chiusa e senza bordo) $2$-dimensionale. Allora su di essa abbiamo la distanza indotta dalla metrica
\[ d(x,y) = \inf \biggl \{ \int_0^1 \| \dot{\gamma}(t) \| \mid \gamma \text{ è una curva } C^{\infty} \text{ con } \gamma(0)=x \text{ e } \gamma(1) = y \biggr \} \]
Allora ha senso considerare le misure di Hausdorff \( \mathcal{H}^k \) indotte da tale distanza. In particolare si può dimostrare che \( \mathcal{H}^2 \) coincide con la misura di volume Riemanniano.
Consideriamo ora un $x \in M$ e un $0< r < \text{inj}(M)/2 $; è dunque ben definito il numero reale
\[ \mathcal{H}^1 (\partial B(x,r) ) \]
Avrei bisogno di una dimostrazione o di una referenza per il fatto che
Magari è banale ma non essendo molto a mio agio nel contesto Riemanniano vorrei avere delle certezze!
Grazie in anticipo!
sia $M$ una varietà Riemanniana compatta (chiusa e senza bordo) $2$-dimensionale. Allora su di essa abbiamo la distanza indotta dalla metrica
\[ d(x,y) = \inf \biggl \{ \int_0^1 \| \dot{\gamma}(t) \| \mid \gamma \text{ è una curva } C^{\infty} \text{ con } \gamma(0)=x \text{ e } \gamma(1) = y \biggr \} \]
Allora ha senso considerare le misure di Hausdorff \( \mathcal{H}^k \) indotte da tale distanza. In particolare si può dimostrare che \( \mathcal{H}^2 \) coincide con la misura di volume Riemanniano.
Consideriamo ora un $x \in M$ e un $0< r < \text{inj}(M)/2 $; è dunque ben definito il numero reale
\[ \mathcal{H}^1 (\partial B(x,r) ) \]
Avrei bisogno di una dimostrazione o di una referenza per il fatto che
Esiste una costante $C>0$ tale che
\[ \mathcal{H}^1 (\partial B(x,r) ) \le Cr \]
Magari è banale ma non essendo molto a mio agio nel contesto Riemanniano vorrei avere delle certezze!
Grazie in anticipo!
Risposte
Può aiutare chi passa di qua se definisci (o indirizzi alla definizione) le misure di cui parli; stai semplicemente considerando lo spazio di misura dei boreliani della topologia indotta dalla metrica o c'è un'altra costruzione che non conosco?
Dove hai trovato quel risultato senza dimostrazione?
Ciao, grazie a entrambi per le risposte.
La misura di cui parlo è la $1$-misura di Hausdorff che si costruisce su $(M,d)$ dove $d$ è la distanza che ho definito prima. E si, è una misura sui boreliani della topologia indotta dalla metrica (in realtà $M$ arriva già con la sua topologia che poi si dimostra essere la stessa generata da quella metrica).
L'ho trovato qua a pagina 9, dimostrazione del Corollary 3.13, la penultima disuguaglianza. Viene citata una referenza nella seconda riga dal fondo, ma non trovo nulla su quel libro.
"fmnq":
Può aiutare chi passa di qua se definisci (o indirizzi alla definizione) le misure di cui parli; stai semplicemente considerando lo spazio di misura dei boreliani della topologia indotta dalla metrica o c'è un'altra costruzione che non conosco?
La misura di cui parlo è la $1$-misura di Hausdorff che si costruisce su $(M,d)$ dove $d$ è la distanza che ho definito prima. E si, è una misura sui boreliani della topologia indotta dalla metrica (in realtà $M$ arriva già con la sua topologia che poi si dimostra essere la stessa generata da quella metrica).
"vict85":
Dove hai trovato quel risultato senza dimostrazione?
L'ho trovato qua a pagina 9, dimostrazione del Corollary 3.13, la penultima disuguaglianza. Viene citata una referenza nella seconda riga dal fondo, ma non trovo nulla su quel libro.
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