[Geometria differenziale] $H^p(\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^n)$ con Mayer-Vietoris
Chiaramente la richiesta di aiuto è diretta all'esperto del settore: Killing_buddha
Voglio calcolare $H^{•}(\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^n)$ con Mayer-Vietoris... Come aperti ho pensato (come nel caso complesso) di prendere $U={X \in \mathbb{P}_{\mathbb{R}}^n\ |\ x_0 \ne 0}$ e $V=\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^n \\ [1,0, \cdots, 0]$
Chiaramente $U \cong \mathbb{R}^n$, $V$ è omotopicamente equivalente a $\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^{n-1}$ e la loro intersezione dovrebbe essere omotopicamente equivalente a $S^{n-1}$
\begin{CD}
U \cap V \longmapsto S^{n-1} \\
[x_0, x_1, \cdots, x_{n-1}, x_n] \longmapsto \left(\frac{x_1}{||x||}, \cdots ,\frac{x_n}{||x||}\right)
\end{CD}
\begin{CD}
S^{n-1} \longmapsto U \cap V \\
(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1},x_n) \longmapsto [1, x_1, \cdots, x_n]
\end{CD}
La prima composta la seconda è l'identità su $S^{n-1}$ mentre la seconda composta la prima è omotopa all'identità (tramite un'omotopia che ho difficoltà a trovare) questo ci dice che sono isomorfi in coomologia...
Un altro problema è il fatto che mi risulti $H^{n-1}(\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^n)=0$ sia per $n$ pari che $n$ dispari...
Voglio calcolare $H^{•}(\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^n)$ con Mayer-Vietoris... Come aperti ho pensato (come nel caso complesso) di prendere $U={X \in \mathbb{P}_{\mathbb{R}}^n\ |\ x_0 \ne 0}$ e $V=\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^n \\ [1,0, \cdots, 0]$
Chiaramente $U \cong \mathbb{R}^n$, $V$ è omotopicamente equivalente a $\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^{n-1}$ e la loro intersezione dovrebbe essere omotopicamente equivalente a $S^{n-1}$
\begin{CD}
U \cap V \longmapsto S^{n-1} \\
[x_0, x_1, \cdots, x_{n-1}, x_n] \longmapsto \left(\frac{x_1}{||x||}, \cdots ,\frac{x_n}{||x||}\right)
\end{CD}
\begin{CD}
S^{n-1} \longmapsto U \cap V \\
(x_1, x_2, \cdots, x_{n-1},x_n) \longmapsto [1, x_1, \cdots, x_n]
\end{CD}
La prima composta la seconda è l'identità su $S^{n-1}$ mentre la seconda composta la prima è omotopa all'identità (tramite un'omotopia che ho difficoltà a trovare) questo ci dice che sono isomorfi in coomologia...
Un altro problema è il fatto che mi risulti $H^{n-1}(\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^n)=0$ sia per $n$ pari che $n$ dispari...
Risposte
Ho l'impressione che la base dell'induzione ti fallisca: per $n=1$ infatti il tuo $U$ è sconnesso (è l'unione di due semipiani) e $V$ è $S^1$ meno un punto...
Devi proprio usare MV? La cosa più sensata in questa circostanza particolare è usare la decomposizione dello spazio proiettivo come CW-complesso e calcolarne la coomologia cellulare: questa coincide con la coomologia singolare ed è particolarmente semplice decomporre lo spazio proiettivo in celle (ne ha una in ogni dimensione, da 0 a $n$). A questo punto ti basta calcolare il grado della mappa antipodale \(\alpha : S^n \to S^n\) per avere che questa induce la moltiplicazione per 2 in gradi pari e la mappa nulla in gradi dispari.
Devi proprio usare MV? La cosa più sensata in questa circostanza particolare è usare la decomposizione dello spazio proiettivo come CW-complesso e calcolarne la coomologia cellulare: questa coincide con la coomologia singolare ed è particolarmente semplice decomporre lo spazio proiettivo in celle (ne ha una in ogni dimensione, da 0 a $n$). A questo punto ti basta calcolare il grado della mappa antipodale \(\alpha : S^n \to S^n\) per avere che questa induce la moltiplicazione per 2 in gradi pari e la mappa nulla in gradi dispari.
L'esercizio chiede M-V.
Perché $U$ è sconnesso con $n=1$? Non è diffeomorfo a $\mathbb{R}$?
Perché $U$ è sconnesso con $n=1$? Non è diffeomorfo a $\mathbb{R}$?
Voglio capirlo anche con le celle...quindi ci provo
Sì, certo che per $n=1$ sei connesso, cosa stavo dicendo??? 
Per il resto aspetta, mi sorge il dubbio che tu voglia la coomologia di de Rham a coefficienti reali. In tal caso è giusto che ti venga che l'unico gruppo nonzero dello spazio proiettivo è lo zeresimo, a parte quando esso è di dimensione pari (perché non è orientabile, e dunque scegliere una orientazione significa scegliere come generare \(H^\text{top}_{dR}(\mathbb{RP}^n,\mathbb R)\)). La ragione è che tutti i gruppi di (co)omologia del piano proiettivo nel range di dimensione $[1,n-1]$ sono zero (come si vede in modo ragionevolmente veloce usando i coefficienti universali e il teorema di de Rham).
Questo conto sì che si può fare con Mayer-Vietoris, e con gli aperti che hai detto tu:
Per il resto aspetta, mi sorge il dubbio che tu voglia la coomologia di de Rham a coefficienti reali. In tal caso è giusto che ti venga che l'unico gruppo nonzero dello spazio proiettivo è lo zeresimo, a parte quando esso è di dimensione pari (perché non è orientabile, e dunque scegliere una orientazione significa scegliere come generare \(H^\text{top}_{dR}(\mathbb{RP}^n,\mathbb R)\)). La ragione è che tutti i gruppi di (co)omologia del piano proiettivo nel range di dimensione $[1,n-1]$ sono zero (come si vede in modo ragionevolmente veloce usando i coefficienti universali e il teorema di de Rham).
Questo conto sì che si può fare con Mayer-Vietoris, e con gli aperti che hai detto tu:
[*:4bbj7dmm] Anzitutto prova a dimostrare che se $X$ è un CW-complesso, e hai ottenuto lo $n$-scheletro \(X^{(n)}\) dal diagramma
\[
\begin{array}{ccc}
S^{n-1} &\to& X^{(n-1)} \\
\downarrow &\ulcorner& \downarrow \\
D^n &\to& X^{(n)}
\end{array}
\] allora quando rimuovi un punto in \(\text{int}(D^n)\) (situazione nella quale puoi sempre metterti, perché l'interno di ciascuna cella è connesso per archi essendo omeomorfo a un disco aperto) $X^{(n-1)}$ è un retratto di deformazione forte di $X^{(n)}$. Questo è un fatto generale che non ha niente a che vedere con gli spazi proiettivi (lo puoi trovare, per esempio, come esercizio 4.21 di "Modern classical homotopy theory" di J. Strom, ed è un prerequisito essenziale al cosiddetto "principio di compressione").
Nel caso dello spazio proiettivo la filtrazione degli scheletri è data esattamente da
\[
\mathbb{RP}^0 \subseteq \mathbb{RP}^1 \subseteq \cdots \subseteq \mathbb{RP}^{n-1}\subseteq \mathbb{RP}^n
\] Questo ti dice che togliendo un punto interno all'unica $n$-cella di $\mathbb{RP}^n$ hai un retratto di deformazione forte su $\mathbb{RP}^{n-1}$, e dunque hai gli stessi gruppi di coomologia per uno dei due aperti (un retratto di deformazione forte è in particolare un'equivalenza omotopica). [/*:m:4bbj7dmm]
[*:4bbj7dmm] Per quanto riguarda l'altro aperto, come giustamente dici tu esso è $\mathbb{R}^n$ (il complementare di un iperpiano nello spazio proiettivo è uno spazio affine, con la sua ovvia struttura di varietà). [/*:m:4bbj7dmm]
[*:4bbj7dmm] Si tratta ora di dimostrare che l'intersezione dei due aperti è omotopicamente equivalente a $S^{n-1} \subset U\cap V$: hai già trovato le mappe, dove ti blocchi a dimostrare che esse formano un'equivalenza omotopica? Devi trovare un'omotopia tra l'identità e la mappa di affineizzazione \(({-})^\text{a}\colon [x_0:\cdots:x_n]\mapsto [1:x_1:\cdots:x_n]\) ristretta alla sfera; ci sono tante scelte non omotope tra loro, ma un'omotopia lineare dovrebbe bastare: ti è sufficiente considerare la funzione
\[
H \colon (U\cap V) \times [0,1] \to (U\cap V) \colon (\underline x,t)\mapsto [f(x_0,t):x_1:\cdots:x_n]
\] dove \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) è la funzione \( (x,t)\mapsto (1-t)x+t\). Questa $H$ ha la proprietà di non uscire da $U\cap V$ (per come li hai definiti, ma è l'unica cosa che non ho controllato scrivendo, quindi fidati ma non scommetterci la vita), e \(H({-},0)=\text{id}_{U\cap V}\), mentre \( H({-},1)=({-})^\text{a}\)[/*:m:4bbj7dmm][/list:u:4bbj7dmm]
Adesso si fa partire il macchinario della successione di Mayer-Vietoris e...
Grazie KB domani mattina lo vedo adesso non è proprio l'ora...
Supponiamo di aver verificato i casi base...
Consideriamo il la successione di M-V
\begin{CD}
@>>> H^{p-1}(S^{n-1}) @>>> H^{p}(\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^{n}) @>>> H^{p}(\mathbb{R}^{n}) \oplus H^{p}(\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^{n-1}) @>>> H^{p}(S^{n-1}) @>>>
\end{CD}
Casi ($p=0,1$) a mano...
Per $1
Consideriamo il la successione di M-V
\begin{CD}
@>>> H^{p-1}(S^{n-1}) @>>> H^{p}(\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^{n}) @>>> H^{p}(\mathbb{R}^{n}) \oplus H^{p}(\mathbb{P}_{\mathbb{R}}^{n-1}) @>>> H^{p}(S^{n-1}) @>>>
\end{CD}
Casi ($p=0,1$) a mano...
Per $1
Sinceramente non ho capito quali problemi: qualsiasi sia la parità di $n$ sei in questa situazione
\[
H^{n-1} \to \mathbb{R} \to H^n \to 0
\]
dove per brevità $H^i = H^i(\mathbb{RP}^n)$. Se $n$ è pari hai $\mathbb{R}\to \mathbb{R} \to H^n\to 0$, e se $n$ è dispari hai $0\to \mathbb{R} \to H^n \to 0$.
Ricorda che la coomologia a coefficienti reali uccide tutta la torsione!
\[
H^{n-1} \to \mathbb{R} \to H^n \to 0
\]
dove per brevità $H^i = H^i(\mathbb{RP}^n)$. Se $n$ è pari hai $\mathbb{R}\to \mathbb{R} \to H^n\to 0$, e se $n$ è dispari hai $0\to \mathbb{R} \to H^n \to 0$.
Ricorda che la coomologia a coefficienti reali uccide tutta la torsione!
Sì infatti poi avevo ricalcolato...e veniva
Il mondo è salvo ancora una volta 
(l'esercizio sul principio di compressione però fallo, è molto utile nella vita!)
(l'esercizio sul principio di compressione però fallo, è molto utile nella vita!)
Quello è d'obbligo morale...
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