Geometria differenziale delle superfici
ciao!!! Una domandina per voi...come si costruiscono le parametrizzazioni locali delle superfici? 
Risposte
Velocemente, senza precisare la definizione dei necessari intorni ed aperti.
Per ogni punto di una superficie regolare deve essere possibile definire una funzione :
f : (u,v) --> (x,y,z)
per cui si abbia :
1) f sia di classe C infinito
2) f sia omeomorfa
3) df sia 1-1
La funzione f si chiama parametrizzazione o sistema di coordinate locali.
Le condizioni scritte assicurano che la superficie sia "liscia", non abbia auto intersezioni, punti "accuminati" e cose del genere e possegga sempre un piano tangente in ogni suo punto.
La condizione 3 è equivalente ad avere il rango dello jacobiano di f uguale a 2.
Salvo errori ed omissioni. Ciao. Arrigo.
ps. è un po' che non mi faccio vivo ma vi seguo sempre ...
Per ogni punto di una superficie regolare deve essere possibile definire una funzione :
f : (u,v) --> (x,y,z)
per cui si abbia :
1) f sia di classe C infinito
2) f sia omeomorfa
3) df sia 1-1
La funzione f si chiama parametrizzazione o sistema di coordinate locali.
Le condizioni scritte assicurano che la superficie sia "liscia", non abbia auto intersezioni, punti "accuminati" e cose del genere e possegga sempre un piano tangente in ogni suo punto.
La condizione 3 è equivalente ad avere il rango dello jacobiano di f uguale a 2.
Salvo errori ed omissioni. Ciao. Arrigo.
ps. è un po' che non mi faccio vivo ma vi seguo sempre ...
Dal punto di vista del "come si fa", ci sono alcuni teoremi che aiutano.
Uno di questi afferma che se g è una funzione di classe C infinito da un aperto U di R^2 ad R, allora l'insieme di R^3 :
(u,v,g(u,v)) per ogni (u,v) di U
è una superficie regolare.
Uno di questi afferma che se g è una funzione di classe C infinito da un aperto U di R^2 ad R, allora l'insieme di R^3 :
(u,v,g(u,v)) per ogni (u,v) di U
è una superficie regolare.
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