Geometria differenziale delle curve
Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto e spero tanto che qualcuno di vi possa aiutarmi.
Devo sostenere un esame di geometria differenziale sulle curve ed avrei bisogno di calcolare sull'equazioni equzioni parametriche che mi elencherò di seguito il vettore tangente, la lunghezza d'arco, la curvatura, il vettore normale e quello binormale e la torsione. Le equazioni parametriche sono le seguenti:
1) x(t)=3cos(t) y(t)=sin(t) Ellissi
2) x(t)=cos(t) y(t)=sin(t) circonferenza
3) x(t)=t y(t)=t^2 parabola
Spero che qualcuno di voi possa accorere in mio aiuto, grazie
Devo sostenere un esame di geometria differenziale sulle curve ed avrei bisogno di calcolare sull'equazioni equzioni parametriche che mi elencherò di seguito il vettore tangente, la lunghezza d'arco, la curvatura, il vettore normale e quello binormale e la torsione. Le equazioni parametriche sono le seguenti:
1) x(t)=3cos(t) y(t)=sin(t) Ellissi
2) x(t)=cos(t) y(t)=sin(t) circonferenza
3) x(t)=t y(t)=t^2 parabola
Spero che qualcuno di voi possa accorere in mio aiuto, grazie
Risposte
Ciao e benvenuto...
dov'è che ti blocchi?elenca le formule e sostituisci i valori per ogni equazione...
dovresti avere anche dei valori iniziali in cui svolgere i calcoli...ad esempio il punto o a che valore del parametro calcolare il vettore tangente, fra che punti la lunghezza d'arco....
dov'è che ti blocchi?elenca le formule e sostituisci i valori per ogni equazione...
dovresti avere anche dei valori iniziali in cui svolgere i calcoli...ad esempio il punto o a che valore del parametro calcolare il vettore tangente, fra che punti la lunghezza d'arco....
allora io ho libera scelta sui valori. Nella circonferenza ho considerato l'intervallo pigreco/2 2 pigreco.
Trovo diffcoltà con la parabola, che magari è anche più semplice della circonferenza e dell'ellissi.
non potresti farmi un esempio con i valori di intervallo che vuoi per vedere se riesco a capire.
Quando calcolo la derivata seconda della curva della parabola, e sostituisco i valori di t, non riesco a trovarne uno che sia sulla parabola stessa, perchè ottengo
f"(t)=1+2t
ecco perchè mi fermo.
Nella circonferenza invece con i valoti che ti ho detto mi trovo sempre sulla circonferenza e riesco a tracciare il vettore tangente e tutti gli altri.
Spero tu abbia capito il mio problema
Trovo diffcoltà con la parabola, che magari è anche più semplice della circonferenza e dell'ellissi.
non potresti farmi un esempio con i valori di intervallo che vuoi per vedere se riesco a capire.
Quando calcolo la derivata seconda della curva della parabola, e sostituisco i valori di t, non riesco a trovarne uno che sia sulla parabola stessa, perchè ottengo
f"(t)=1+2t
ecco perchè mi fermo.
Nella circonferenza invece con i valoti che ti ho detto mi trovo sempre sulla circonferenza e riesco a tracciare il vettore tangente e tutti gli altri.
Spero tu abbia capito il mio problema
bè intanto la derivata seconda dell'ultima curva è $r''(t)=(0,2)$ il che è naturale se consideri ad esempio che la parabola ha sempre la concavità rivolta verso l'alto.
per la parabola:
prendiamo ad esempio $-1<=t<=1$ allora il vettore tangente è $r'(t)=(1,2t)$ definito sempre nello stesso intervallo della curva.
Quello normale lo trovi $\bar{n}=(r'(t))/(|r'(t)|)$
La lunghezza d'arco è $L=\int_(-1)^(1)|r'(t)|dt$ sapendo che $|r'(t)|=\sqrt{1+4t^2}$ allora l'integrale è
$L=\int_(-1)^(1)\sqrt{1+4t^2}dt$
ora devo scappare...spero di averti dato qualche dritta.ciao
per la parabola:
prendiamo ad esempio $-1<=t<=1$ allora il vettore tangente è $r'(t)=(1,2t)$ definito sempre nello stesso intervallo della curva.
Quello normale lo trovi $\bar{n}=(r'(t))/(|r'(t)|)$
La lunghezza d'arco è $L=\int_(-1)^(1)|r'(t)|dt$ sapendo che $|r'(t)|=\sqrt{1+4t^2}$ allora l'integrale è
$L=\int_(-1)^(1)\sqrt{1+4t^2}dt$
ora devo scappare...spero di averti dato qualche dritta.ciao
"danielemastrangelo":
1) x(t)=3cos(t) y(t)=sin(t) Ellissi
2) x(t)=cos(t) y(t)=sin(t) circonferenza
3) x(t)=t y(t)=t^2 parabola
Tieni conto che una curva piana ha torsione uguale a zero.
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