Geometria Differenziale: aiuto con degli esempi
Ciao a tutti!
Sto affrontando un corso di Geometria Differenziale, e ho qualche difficoltà a comprendere i concetti. "Qualche".
Con la speranza che prima o poi io riceva l'illuminazione e faccia chiarezza in questa materia oscura, vorrei avere conferma / aiuto con alcuni semplici esempi.
Nota: non sono presi da esercizi o da esempi del libro. Sono domande che mi sono posto e che sono ragionevolmente sicuro debbano avere una risposta semplice. Se ci sono questioni teoriche che sto ignorando (e.g. domanda mal posta, non puoi calcolare questa cosa senza aver considerato quest'altra, mancanza di ipotesi, etc) fatemele notare, che imparo qualcosa di nuovo. Tipo, ho scelto una F che ha due componenti uguali, questo credo causi problemi almeno in un punto, ma non saprei dire perché.
DOMANDE:
(grazie a killing_buddha per l'aiuto con la formattazione)
Siano M, N varietà, con carte locali che mi danno coordinate locali (r,s) e (x,y,z) rispettivamente. Sia:
$F:M->N, F(r,s) = (rs,rs,s^2)$
Sia:
$\omega = x dy + xz dz$
una 1-forma differenziale su N. Sia:
$X = xy d/dx + yz d/dy + xz d/dz$
un campo vettoriale su N. Tutto in coordinate locali, chiaramente.
Vorrei calcolare:
1) il differenziale di F
2) una carta piatta per D =
3) il pullback di X
4) il pullback di $\omega$
5) il differenziale esterno di $\omega$
[Aside: se volessi integrare $\omega$ su M dovrei avere un atlante di carte di M e la rappresentazione in coordinate locali di \omega in ciascuna carta dell'atlante; supponiamo che M sia la sfera e (r,s) coordinate polari: c'è un modo semplice per trovare un'estensione di $\omega$ a tutta la sfera che mi rispetti le carte? Forse trovare le funzioni di transizione e da lì scrivere $\omega$ nelle nuove coordinate?
Non sono sicuro di come procedere, ma non è fondamentale]
1) allora, il differenziale è calcolato su derivazioni (elementi del tangente), quindi combinazioni lineari (a coefficienti reali) della base fatta dalle derivate parziali. Quindi:
$dF_{(r,s)} (a \frac{d}{dr} + b d/ds) = a (dx/dr d/dx + dy/dr d/dy + dz/dr d/dz) + b (dx/ds d/dx + dy/ds d/dy + dz/ds d/dz) = (as + br) d/dx + (as + br) d/dy + 2bs d/dz$
A questo punto io ho finito, visto che gli r, s in questo caso sono numeri fissati dovuti a dove sto facendo il differenziale, non coordinate nel sistema di riferimento sbagliato. Ho una combinazione lineare a coefficienti reali di una base d T_F(p) N, che è quello che volevo. Questo determina univocamente il differenziale, almeno su questa carta locale. [Io dico le cose perché credo siano giuste, poi se qualcuno me le conferma sto meglio].
2) D è una distribuzione. Essendo generata da un unico campo X, è 1-dimensionale. Una carta piatta è una carta che spezza $\phi (U)$ in $V'$ e $V''$, aperti di $R^1$ e $R^n-1$, varrebbe a dire $R^2$ visto che N è 3-dimensionale; inoltre deve essere tale che $d/dx_1$ è riferimento locale per D su U. Cioè che $ = D$ in questo caso. Ora,
$D = = $
Per trovare una carta piatta dovrei trovare qualcosa tale che:
$x_1 = G(x,y,z), e dG/dx = xy, dG/dy = yz, dG/dz = xz$
Secondo me questa G non può esistere, anche se non saprei giustificarlo con qualcosa di più del "boh gli integrali non funzionano". Inoltre secondo me il fatto che non esista questa G garantisce che non possa esistere una carta piatta su un U che intersechi l'insieme di definizione delle coordinate $(x,y,z)$. Cioè, se anche esistesse una qualche carta piatta per questa $D$, non potrebbe essere definita su alcun punto dell'insieme $V$, dove $(V, \psi)$ è la carta locale che induce le coordinate $(x,y,z)$ usate finora. Ha senso quello che ho detto? C'è un modo più semplice di dirlo?
3) Qui mi par di capire che $(F*X)_p = d(F^{-1})_F(p) (X(F(p)))$. Questa cosa già in partenza mi disturba profondamente perché c'è una $F^{-1}$. Da quando il pullback richiede l'inversa? Da quel poco che so di categorie mi era parso di capire (parso, eh) che il pullback fosse sempre definito, e che per fare il push-forward invece servisse la biiettività obbligatoria. Cosa mi son perso?
Comunque, $F^{-1}(x,y,z) = (x/\sqrt{z}, \sqrt{z})$, ma già qua ci son problemi. Posso scegliere x o y nella prima coordinata, tanto sono uguali sull'immagine di F. C'è qualcosa che non quadra. Tant'è vero che adesso esce o un a o un b a seconda della scelta
$dF^{-1}_{(x,y,z)} (a d/dx + b d/dy + c d/dz) = a ( 1 / \sqrt{z} d/dr + 0) + b (0 + 0) + c (-1/2 x/\sqrt{z^3} d/dr - 1/2\sqrt{z^3} d/ds) =?= b / \sqrt{z} d/dr + c (-1/2 x/\sqrt{z^3} d/dr - 1/2\sqrt{z^3} d/ds)$
$=> F*X_{r,s} = [ b / \sqrt{z} d/dr + c (-1/2 x/\sqrt{z^3} d/dr - 1/2\sqrt{z^3} d/ds) ] (xy d/dx + yz d/dy + xz d/dz)$
...e adesso che faccio? Non ho idea di cosa ci sia più neanche scritto qui, ci sono delle derivate parziali in un sistema di riferimento calcolate nelle derivate parziali di un altro sistema di riferimento, c'è qualcosa di profondamente sbagliato in tutto questo.
4) di questa formula son sicuro perché c'è sul libro (a differenza di quella per i campi; perché non c'è quella per i campi?
)
$F*\omega_p (v) = \omega_{F(p)} (dF_p(v))$
Quindi...
$F*\omega_{(r,s)} (v_1 d/dr + v_2 d/ds) = \omega_{(rs,rs,s^2)} [(as+br) (d/dx + d/dy) + 2bs d/dz] (v_1 d/dr + v_2 d/ds)$
Ora, $\omega_{(rs,rs,s^2)} = rs d(rs) + rs^3 d(s^2) = (r^2s + 2rs^4) ds + rs^2 dr$
e fin qui dovrebbe essere giusto.
Solo che non ho idea di cosa voglia dire e di come si calcoli:
$[(r^2s + 2rs^4) ds + rs^2 dr] [(as+br) (d/dx + d/dy) + 2bs d/dz] (v_1 d/dr + v_2 d/ds)$
Come nel caso precedente mi saltano fuori derivate parziali in due sistemi di riferimento e non capisco perché, o cosa significhi.
5) Ok, su questo sono proprio perso. La definizione che abbiamo è completamente teorica, il differenziale esterno è "quell'unica applicazione lineare che" eccetera (estende il differenziale, manda r-forme in r+1-forme, composta con sè stessa è 0, e poi c'è la regola sul wedge). Ora, in linea teorica le n-forme si scrivono come prodotti wedge di 1-forme, e le funzioni a.k.a. 0-forme si fa il differenziale normale. Ma le 1-forme? Cioè, ci deve essere una qualche regola per calcolarne il differenziale esterno, no? Altrimenti che senso ha avere la regola per ricondursi a 1-forme....
Grazie a tutti quelli che han letto fin qui, e grazie ancora a chiunque si prenda la briga di rispondere!
Sto affrontando un corso di Geometria Differenziale, e ho qualche difficoltà a comprendere i concetti. "Qualche".
Con la speranza che prima o poi io riceva l'illuminazione e faccia chiarezza in questa materia oscura, vorrei avere conferma / aiuto con alcuni semplici esempi.
Nota: non sono presi da esercizi o da esempi del libro. Sono domande che mi sono posto e che sono ragionevolmente sicuro debbano avere una risposta semplice. Se ci sono questioni teoriche che sto ignorando (e.g. domanda mal posta, non puoi calcolare questa cosa senza aver considerato quest'altra, mancanza di ipotesi, etc) fatemele notare, che imparo qualcosa di nuovo. Tipo, ho scelto una F che ha due componenti uguali, questo credo causi problemi almeno in un punto, ma non saprei dire perché.
DOMANDE:
(grazie a killing_buddha per l'aiuto con la formattazione)
Siano M, N varietà, con carte locali che mi danno coordinate locali (r,s) e (x,y,z) rispettivamente. Sia:
$F:M->N, F(r,s) = (rs,rs,s^2)$
Sia:
$\omega = x dy + xz dz$
una 1-forma differenziale su N. Sia:
$X = xy d/dx + yz d/dy + xz d/dz$
un campo vettoriale su N. Tutto in coordinate locali, chiaramente.
Vorrei calcolare:
1) il differenziale di F
2) una carta piatta per D =
3) il pullback di X
4) il pullback di $\omega$
5) il differenziale esterno di $\omega$
[Aside: se volessi integrare $\omega$ su M dovrei avere un atlante di carte di M e la rappresentazione in coordinate locali di \omega in ciascuna carta dell'atlante; supponiamo che M sia la sfera e (r,s) coordinate polari: c'è un modo semplice per trovare un'estensione di $\omega$ a tutta la sfera che mi rispetti le carte? Forse trovare le funzioni di transizione e da lì scrivere $\omega$ nelle nuove coordinate?
Non sono sicuro di come procedere, ma non è fondamentale]1) allora, il differenziale è calcolato su derivazioni (elementi del tangente), quindi combinazioni lineari (a coefficienti reali) della base fatta dalle derivate parziali. Quindi:
$dF_{(r,s)} (a \frac{d}{dr} + b d/ds) = a (dx/dr d/dx + dy/dr d/dy + dz/dr d/dz) + b (dx/ds d/dx + dy/ds d/dy + dz/ds d/dz) = (as + br) d/dx + (as + br) d/dy + 2bs d/dz$
A questo punto io ho finito, visto che gli r, s in questo caso sono numeri fissati dovuti a dove sto facendo il differenziale, non coordinate nel sistema di riferimento sbagliato. Ho una combinazione lineare a coefficienti reali di una base d T_F(p) N, che è quello che volevo. Questo determina univocamente il differenziale, almeno su questa carta locale. [Io dico le cose perché credo siano giuste, poi se qualcuno me le conferma sto meglio].
2) D è una distribuzione. Essendo generata da un unico campo X, è 1-dimensionale. Una carta piatta è una carta che spezza $\phi (U)$ in $V'$ e $V''$, aperti di $R^1$ e $R^n-1$, varrebbe a dire $R^2$ visto che N è 3-dimensionale; inoltre deve essere tale che $d/dx_1$ è riferimento locale per D su U. Cioè che $
$D =
Per trovare una carta piatta dovrei trovare qualcosa tale che:
$x_1 = G(x,y,z), e dG/dx = xy, dG/dy = yz, dG/dz = xz$
Secondo me questa G non può esistere, anche se non saprei giustificarlo con qualcosa di più del "boh gli integrali non funzionano". Inoltre secondo me il fatto che non esista questa G garantisce che non possa esistere una carta piatta su un U che intersechi l'insieme di definizione delle coordinate $(x,y,z)$. Cioè, se anche esistesse una qualche carta piatta per questa $D$, non potrebbe essere definita su alcun punto dell'insieme $V$, dove $(V, \psi)$ è la carta locale che induce le coordinate $(x,y,z)$ usate finora. Ha senso quello che ho detto? C'è un modo più semplice di dirlo?
3) Qui mi par di capire che $(F*X)_p = d(F^{-1})_F(p) (X(F(p)))$. Questa cosa già in partenza mi disturba profondamente perché c'è una $F^{-1}$. Da quando il pullback richiede l'inversa? Da quel poco che so di categorie mi era parso di capire (parso, eh) che il pullback fosse sempre definito, e che per fare il push-forward invece servisse la biiettività obbligatoria. Cosa mi son perso?
Comunque, $F^{-1}(x,y,z) = (x/\sqrt{z}, \sqrt{z})$, ma già qua ci son problemi. Posso scegliere x o y nella prima coordinata, tanto sono uguali sull'immagine di F. C'è qualcosa che non quadra. Tant'è vero che adesso esce o un a o un b a seconda della scelta
$dF^{-1}_{(x,y,z)} (a d/dx + b d/dy + c d/dz) = a ( 1 / \sqrt{z} d/dr + 0) + b (0 + 0) + c (-1/2 x/\sqrt{z^3} d/dr - 1/2\sqrt{z^3} d/ds) =?= b / \sqrt{z} d/dr + c (-1/2 x/\sqrt{z^3} d/dr - 1/2\sqrt{z^3} d/ds)$
$=> F*X_{r,s} = [ b / \sqrt{z} d/dr + c (-1/2 x/\sqrt{z^3} d/dr - 1/2\sqrt{z^3} d/ds) ] (xy d/dx + yz d/dy + xz d/dz)$
...e adesso che faccio? Non ho idea di cosa ci sia più neanche scritto qui, ci sono delle derivate parziali in un sistema di riferimento calcolate nelle derivate parziali di un altro sistema di riferimento, c'è qualcosa di profondamente sbagliato in tutto questo.
4) di questa formula son sicuro perché c'è sul libro (a differenza di quella per i campi; perché non c'è quella per i campi?
)$F*\omega_p (v) = \omega_{F(p)} (dF_p(v))$
Quindi...
$F*\omega_{(r,s)} (v_1 d/dr + v_2 d/ds) = \omega_{(rs,rs,s^2)} [(as+br) (d/dx + d/dy) + 2bs d/dz] (v_1 d/dr + v_2 d/ds)$
Ora, $\omega_{(rs,rs,s^2)} = rs d(rs) + rs^3 d(s^2) = (r^2s + 2rs^4) ds + rs^2 dr$
e fin qui dovrebbe essere giusto.
Solo che non ho idea di cosa voglia dire e di come si calcoli:
$[(r^2s + 2rs^4) ds + rs^2 dr] [(as+br) (d/dx + d/dy) + 2bs d/dz] (v_1 d/dr + v_2 d/ds)$
Come nel caso precedente mi saltano fuori derivate parziali in due sistemi di riferimento e non capisco perché, o cosa significhi.
5) Ok, su questo sono proprio perso. La definizione che abbiamo è completamente teorica, il differenziale esterno è "quell'unica applicazione lineare che" eccetera (estende il differenziale, manda r-forme in r+1-forme, composta con sè stessa è 0, e poi c'è la regola sul wedge). Ora, in linea teorica le n-forme si scrivono come prodotti wedge di 1-forme, e le funzioni a.k.a. 0-forme si fa il differenziale normale. Ma le 1-forme? Cioè, ci deve essere una qualche regola per calcolarne il differenziale esterno, no? Altrimenti che senso ha avere la regola per ricondursi a 1-forme....
Grazie a tutti quelli che han letto fin qui, e grazie ancora a chiunque si prenda la briga di rispondere!
Risposte
Andiamo con ordine.
Anzitutto, il codice LaTeX va inserito tra dollari
Ad esempio, $e^{i\pi}+1 = 0$ oppure \(e^{i \pi }+1=0\) (cita questa risposta per vedere come ho ottenuto questo ed altro codice). Venendo alle tue domande prettamente matematiche.
1) La funzione $F$ come l'hai definita ha per matrice jacobiana
\[
\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial F_1}{\partial r} & \frac{\partial F_1}{\partial s} \\
\frac{\partial F_2}{\partial r} & \frac{\partial F_2}{\partial s} \\
\frac{\partial F_3}{\partial r} & \frac{\partial F_3}{\partial s}
\end{array} \right )=
\left(\begin{array}{cc}
s & r \\
s & r \\
0 & 2s
\end{array} \right )\] che punto per punto avrà i valori che si merita (ovvero, nel punto $p=(r_0,s_0)$ sarà una applicazione lineare da $T_{p}M$ a $T_{F p}N$).
2) Ignoro cosa sia una carta piatta, quindi non so aiutarti.
3) Infatti non si fa così; devi semplicemente fare il prodotto di matrici tra lo jacobiano di $F$ e $X(F(r,s))$ ovvero
\[
\left(\begin{array}{cc}
s & r \\
s & r \\
0 & 2s
\end{array} \right )\left(\begin{array}{c}
r^2 s^2 \\
rs^3 \\
rs^3
\end{array} \right ) =
\left(
\begin{array}{c}
\dots \\ \dots \\ \dots
\end{array}
\right )\] (mi aspetto sia un conto che sai fare).
Per il resto, tutti gli esercizi di questo tipo di basano sul fare le derivate come fanno i fisici: se $(x,y,z) = (rs,rs,s^2)$ allora
\[\begin{cases}
dx = sdr+rds \\
dy = sdr+rds \\
dz = 2sds
\end{cases}\]
Ora non si tratta che di fare conti da scimmia:
4) Se scrivi $\omega$ in componenti, $\omega = \sum \omega_i de_i$, ed ecco che allora
\[
\begin{gather*}
\omega_x dx + \omega_y dy + \omega_z dz = \\
F_1(r,s)dx(r,s) + F_1(r,s)F_3(r,s)dz = \\
rs(sdr+rds)+rs^3(2sds) = \dots
\end{gather*}
\] (anche qui mi aspetto tu sappia fare il conto)
5) la derivata esterna si fa derivando le componenti di $\omega$:
\[
d\omega = dx\land dy + (zdx+xdz)\land dz = dx\land dy + zdx\land dz.
\]
In parole povere il prodotto formale (che è un prodotto che fai nell'algebra tensoriale opportuna) viene "aperto" per bilinearità e poi l'antisimmetria semplifica un po' di roba.
Ricorda: se ci riescono i fisici...
Anzitutto, il codice LaTeX va inserito tra dollari
$oppure tra simboli
\(e
\)
Ad esempio, $e^{i\pi}+1 = 0$ oppure \(e^{i \pi }+1=0\) (cita questa risposta per vedere come ho ottenuto questo ed altro codice). Venendo alle tue domande prettamente matematiche.
1) La funzione $F$ come l'hai definita ha per matrice jacobiana
\[
\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial F_1}{\partial r} & \frac{\partial F_1}{\partial s} \\
\frac{\partial F_2}{\partial r} & \frac{\partial F_2}{\partial s} \\
\frac{\partial F_3}{\partial r} & \frac{\partial F_3}{\partial s}
\end{array} \right )=
\left(\begin{array}{cc}
s & r \\
s & r \\
0 & 2s
\end{array} \right )\] che punto per punto avrà i valori che si merita (ovvero, nel punto $p=(r_0,s_0)$ sarà una applicazione lineare da $T_{p}M$ a $T_{F p}N$).
2) Ignoro cosa sia una carta piatta, quindi non so aiutarti.
3) Infatti non si fa così; devi semplicemente fare il prodotto di matrici tra lo jacobiano di $F$ e $X(F(r,s))$ ovvero
\[
\left(\begin{array}{cc}
s & r \\
s & r \\
0 & 2s
\end{array} \right )\left(\begin{array}{c}
r^2 s^2 \\
rs^3 \\
rs^3
\end{array} \right ) =
\left(
\begin{array}{c}
\dots \\ \dots \\ \dots
\end{array}
\right )\] (mi aspetto sia un conto che sai fare).
Per il resto, tutti gli esercizi di questo tipo di basano sul fare le derivate come fanno i fisici: se $(x,y,z) = (rs,rs,s^2)$ allora
\[\begin{cases}
dx = sdr+rds \\
dy = sdr+rds \\
dz = 2sds
\end{cases}\]
Ora non si tratta che di fare conti da scimmia:
4) Se scrivi $\omega$ in componenti, $\omega = \sum \omega_i de_i$, ed ecco che allora
\[
\begin{gather*}
\omega_x dx + \omega_y dy + \omega_z dz = \\
F_1(r,s)dx(r,s) + F_1(r,s)F_3(r,s)dz = \\
rs(sdr+rds)+rs^3(2sds) = \dots
\end{gather*}
\] (anche qui mi aspetto tu sappia fare il conto)
5) la derivata esterna si fa derivando le componenti di $\omega$:
\[
d\omega = dx\land dy + (zdx+xdz)\land dz = dx\land dy + zdx\land dz.
\]
In parole povere il prodotto formale (che è un prodotto che fai nell'algebra tensoriale opportuna) viene "aperto" per bilinearità e poi l'antisimmetria semplifica un po' di roba.
Ricorda: se ci riescono i fisici...
Grazie mille per l'aiuto!
Mmmm. Mi sfugge qualcosa. Cioè, vedo che lo Jacobiano della funzione F nelle coordinate (r,s) è effettivamente l'applicazione lineare che ho scritto io quando applicato a un qualche vettore $(a, b)$, che ha senso in quanto $T_p M$ e $T_p N$ sono a tutti gli effetti spazi vettoriali nelle basi $(d/dx)$ etc. Ok. Però perché dalla definzione di differenziale come composizione di una derivazione col pullback si arriva allo Jacobiano? E' sempre vero che in realtà è lo Jacobiano che appare?
In realtà no, non lo so fare, perché è una matrice 3x2 moltiplicata per un vettore 3x1. Non è il prodotto tra matrici? Righe per colonne? O semplicemente la prima matrice in realtà va trasposta?
Comunque al di là di questo, sapresti darmi un'idea del perché venga così?
Mmmmmmm. Questo era il conto che avevo fatto sopra, che mi porta ad avere una cosa tipo
$(r^2 s + 2 r s^4) ds + rs^2 dr$
In pratica mi dici che questa è la forma pullback nelle coordinate locali (r,s). Ci credo. Ma come faccio a calcolarla in un vettore? Cioè, come agiscono $dr$ e $ds$ sui vettori di base? Sospetto che:
$dr (d/dr) = 1$, $dr(d/ds) = 0$ e viceversa per ds. Confermi?
Ok qui stiamo usando tutte regole note tranne una: mi sembra che tu implichi nei tuoi conti che
$ x dy = x \land dy $
E' vero? Se sì, perché?
I fisici sanno fare un sacco di cose che io non so fare. Gli esami di fisica per esempio.
"killing_buddha":
1) La funzione $F$ come l'hai definita ha per matrice jacobiana
\[
\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial F_1}{\partial r} & \frac{\partial F_1}{\partial s} \\
\frac{\partial F_2}{\partial r} & \frac{\partial F_2}{\partial s} \\
\frac{\partial F_3}{\partial r} & \frac{\partial F_3}{\partial s}
\end{array} \right )=
\left(\begin{array}{cc}
s & r \\
s & r \\
0 & 2s
\end{array} \right )\] che punto per punto avrà i valori che si merita (ovvero, nel punto $p=(r_0,s_0)$ sarà una applicazione lineare da $T_{p}M$ a $T_{F p}N$).
Mmmm. Mi sfugge qualcosa. Cioè, vedo che lo Jacobiano della funzione F nelle coordinate (r,s) è effettivamente l'applicazione lineare che ho scritto io quando applicato a un qualche vettore $(a, b)$, che ha senso in quanto $T_p M$ e $T_p N$ sono a tutti gli effetti spazi vettoriali nelle basi $(d/dx)$ etc. Ok. Però perché dalla definzione di differenziale come composizione di una derivazione col pullback si arriva allo Jacobiano? E' sempre vero che in realtà è lo Jacobiano che appare?
3) Infatti non si fa così; devi semplicemente fare il prodotto di matrici tra lo jacobiano di $F$ e $X(F(r,s))$ ovvero
\[
\left(\begin{array}{cc}
s & r \\
s & r \\
0 & 2s
\end{array} \right )\left(\begin{array}{c}
r^2 s^2 \\
rs^3 \\
rs^3
\end{array} \right ) =
\left(
\begin{array}{c}
\dots \\ \dots \\ \dots
\end{array}
\right )\] (mi aspetto sia un conto che sai fare).
In realtà no, non lo so fare, perché è una matrice 3x2 moltiplicata per un vettore 3x1.
Non è il prodotto tra matrici? Righe per colonne? O semplicemente la prima matrice in realtà va trasposta?Comunque al di là di questo, sapresti darmi un'idea del perché venga così?
4) Se scrivi $\omega$ in componenti, $\omega = \sum \omega_i de_i$, ed ecco che allora
\[
\begin{gather*}
\omega_x dx + \omega_y dy + \omega_z dz = \\
F_1(r,s)dx(r,s) + F_1(r,s)F_3(r,s)dz = \\
rs(sdr+rds)+rs^3(2sds) = \dots
\end{gather*}
\] (anche qui mi aspetto tu sappia fare il conto)
Mmmmmmm. Questo era il conto che avevo fatto sopra, che mi porta ad avere una cosa tipo
$(r^2 s + 2 r s^4) ds + rs^2 dr$
In pratica mi dici che questa è la forma pullback nelle coordinate locali (r,s). Ci credo. Ma come faccio a calcolarla in un vettore? Cioè, come agiscono $dr$ e $ds$ sui vettori di base? Sospetto che:
$dr (d/dr) = 1$, $dr(d/ds) = 0$ e viceversa per ds. Confermi?
5) la derivata esterna si fa derivando le componenti di $\omega$:
\[
d\omega = dx\land dy + (zdx+xdz)\land dz = dx\land dy + zdx\land dz.
\]
In parole povere il prodotto formale (che è un prodotto che fai nell'algebra tensoriale opportuna) viene "aperto" per bilinearità e poi l'antisimmetria semplifica un po' di roba.
Ok qui stiamo usando tutte regole note tranne una: mi sembra che tu implichi nei tuoi conti che
$ x dy = x \land dy $
E' vero? Se sì, perché?
Ricorda: se ci riescono i fisici...
I fisici sanno fare un sacco di cose che io non so fare. Gli esami di fisica per esempio.
"TheMormegil":
Però perché dalla definzione di differenziale come composizione di una derivazione col pullback si arriva allo Jacobiano? E' sempre vero che in realtà è lo Jacobiano che appare?
Il differenziale di una funzione (tra aperti di \(\mathbb{R}^n\), ma anche tra varietà) è definito da una proprietà universale
è l'unico coso che fa qualcosa. Verifica che quel coso fa quella cosa che vuoi.[quote]3) Infatti non si fa così; devi semplicemente fare il prodotto di matrici tra lo jacobiano di $F$ e $X(F(r,s))$ ovvero
\[
\left(\begin{array}{cc}
s & r \\
s & r \\
0 & 2s
\end{array} \right )\left(\begin{array}{c}
r^2 s^2 \\
rs^3 \\
rs^3
\end{array} \right ) =
\left(
\begin{array}{c}
\dots \\ \dots \\ \dots
\end{array}
\right )\] (mi aspetto sia un conto che sai fare).
In realtà no, non lo so fare, perché è una matrice 3x2 moltiplicata per un vettore 3x1.
Non è il prodotto tra matrici? Righe per colonne? O semplicemente la prima matrice in realtà va trasposta?[/quote]Sì, va trasposta la colonna per farla diventare una riga; era sera tardi
quello che stai facendo è $X(F(r,s))F'(r,s)$, che è una sorta di regola della catena se pensi che $X$ sia una derivazione.[quote]4) Se scrivi $\omega$ in componenti, $\omega = \sum \omega_i de_i$, ed ecco che allora
\[
\begin{gather*}
\omega_x dx + \omega_y dy + \omega_z dz = \\
F_1(r,s)dx(r,s) + F_1(r,s)F_3(r,s)dz = \\
rs(sdr+rds)+rs^3(2sds) = \dots
\end{gather*}
\] (anche qui mi aspetto tu sappia fare il conto)
Mmmmmmm. Questo era il conto che avevo fatto sopra, che mi porta ad avere una cosa tipo
$(r^2 s + 2 r s^4) ds + rs^2 dr$
In pratica mi dici che questa è la forma pullback nelle coordinate locali (r,s). Ci credo. Ma come faccio a calcolarla in un vettore? Cioè, come agiscono $dr$ e $ds$ sui vettori di base? Sospetto che:
$dr (d/dr) = 1$, $dr(d/ds) = 0$ e viceversa per ds. Confermi?
[/quote]
Sì; c'è modo di dirlo meglio. Se scegli una carta locale con coordinate $\{x_i\}$, centrata in un punto $p$, allora \(\left\{\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial s}\right\}\) e $\{dr, ds\}$ sono basi rispettivamente sullo spazio tangente \(T_p M\) e sul cotangente \(T_p^*M\). Ora, cosa lega una base alla sua duale nel passaggio \(V\mapsto V^*\)? Esattamente la relazione \(dx_i(\partial/\partial x_j) = \delta_{ij}\).
5) la derivata esterna si fa derivando le componenti di $\omega$:
\[
d\omega = dx\land dy + (zdx+xdz)\land dz = dx\land dy + zdx\land dz.
\]
In parole povere il prodotto formale (che è un prodotto che fai nell'algebra tensoriale opportuna) viene "aperto" per bilinearità e poi l'antisimmetria semplifica un po' di roba.
Ok qui stiamo usando tutte regole note tranne una: mi sembra che tu implichi nei tuoi conti che
\( x dy = x \land dy \)
E' vero? Se sì, perché?
Quello che stai facendo, e che è vero, è che \(d(x\land dy) = dx\land dy\); questo è vero perché $d(-)$ agisce su x mandandolo in $dx$ e per definizione di derivata esterna
si tratta di leggere nella sommatoria della definizione che stai facendo esattamente questo. Quando hai capito tutto, per esercizio, prova a vedere che la derivata esterna e il pullback commutano nell'esempio che ti sei scritto.
Ok, grazie mille!
Ho provato anche a fare la commutazione e viene. Eccellente! Magari riesco a scrivere qualcosa nel compito.
Grazie ancora per l'aiuto!
Ho provato anche a fare la commutazione e viene. Eccellente! Magari riesco a scrivere qualcosa nel compito.
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