Geometria dello spazio:piano e sfera

[marixg]

determinare le equazioni delle sfere di raggio $5$ aventi centro $C$ sulla retta r di equazioni
$ x=2z$
$y=z-1$

che tagliano il piano$ x-y+2z-4=0$

secondo una circonferenza di raggio $4$.


essendo C in r le sue coordinate sono $C=(2z,z-1,z)$

l'eq della sfera di centro C e raggio 5 è: $(x-2z)^(2)+(y-z+1)^(2)=25$ ovvero $x^(2)+y^(2)+5z^(2)-4zx-2yz+2y-2z=24$

l'eq della circonferenza centro $A=(x_0,y_0)$ e raggio 4 è: $(x-x_0)^(2)+(y-y_0)^(2)=16$

come sfrutto il fatto che la sfera tagli in piano in una circonferenza?

[ciampax]

Stai facendo un po' di confusione con le notazioni. Se il centro $C$ sta sulla retta che hai scritto, allora le sue coordinate sono queste $C(2\alpha,\alpha-1,\alpha)$ per qualche $\alpha\in RR$ e pertanto l'equazione della sfera risulta

$(x-2\alpha)^2+(y-\alpha+1)^2+(z-\alpha)^2=25$ (tra l'altro, la tua equazione non può essere di una sfera... perché?).

Ora, attento/a a come interpreti l'altra ipotesi: quello che vuoi è che, intersecando la tua sfera con il piano si ottenga una circonferenza di raggio $4$, ma non è detto che l'equazione della circonferenza sia ome la scrivi, quello sarebbe vero se il piano fosse $z=0$! Quello che devi fare è trovare il centro della circonferenza sul piano e poi esplicitare la condizione richiesta. Idee?

[laura1232]

Per trovare il centro delle sfere basta trovare i due punti della retta che distano $3$ dal piano. Questo numero viene fuori dal teorema di Pitagora...