Geometria dello spazio

[asder83]

Non ho idea di come impostare gli esercizi.
Ad esempio:
1) trovare il piano ortogonale al piano $pi$ e parallelo alla retta $r$
2) trovare il piano parallelo al piano $pi$ e ortogonale alla retta $r$
3) trovare la retta ortogonale alle due rette $r$ ed $s$
4) dimostrare che le rette sono incidenti
5) etc...
ogni esercizio è diverso dall'altro.

Mi potete dare qualche suggerimento? Magari qualche sito/libro dal quale prendere spunto...

[kobeilprofeta]

scrivi il testo di UN esercizio alla volta e vediamo di risolverlo insieme... quello che chiedi è improponibile

[asder83]

non ci sono delle regole generali per la risoluzione di questi esercizi?
ad esempio se trovo il vettore direzione, a cosa mi può servire?
ora sul quaderno ho letto che due piani sono paralleli quando il rango della matrice è 1, altre cose simili dove le posso trovare? ho saltato alcune lezioni

[kobeilprofeta]

se ti guardi con attenzione questo, specialmente il capitolo 1, dovresti capire come si fanno in linea generale questi esercizi...

[Gold D Roger]

"chry11":non ci sono delle regole generali per la risoluzione di questi esercizi?
ad esempio se trovo il vettore direzione, a cosa mi può servire?

ora sul quaderno ho letto che due piani sono paralleli quando il rango della matrice è 1, altre cose simili dove le posso trovare? ho saltato alcune lezioni

Prendiamo il caso di due rette in forma parametrica in $mathbb(R^2)$

$mathcal(R)$ :\( \begin{cases} x=a+\lambda t \\ y=b+\mu t \\ \end{cases} \) ; $mathcal(S)$ :\( \begin{cases} x=c+\nu t \\ y=d+\eta t \\ \end{cases} \)

$((lambda),(mu))$ è la direzione parallela alla retta $mathcal(R)$,

$((nu),(eta))$ è la direzione parallela alla retta $mathcal(S)$.

Queste rette sono:

parallele se determinano la stessa direzione \( \Longleftrightarrow \) sono proporzionali
\( \Longleftrightarrow \) \( r\begin{pmatrix} \lambda & \nu \\ \mu & \eta \end{pmatrix}=1\Longleftrightarrow det\begin{pmatrix} \lambda & \nu \\ \mu & \eta \end{pmatrix}=0 \) \( \Longleftrightarrow \eta \lambda - \mu \nu=0 \)

ortogonali se \( \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu \end{pmatrix}\bot \begin{pmatrix} \nu \\ \eta \end{pmatrix} \Longleftrightarrow p(\begin{pmatrix} \lambda \\ \mu \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \nu \\ \eta \end{pmatrix})=0 \Leftrightarrow \lambda \nu + \mu \eta=0 \)

Tenendo conto dei vettori direzionali di una retta o di un piano, queste regole possono esssere generalizzate anche a rette in forma cartesiana o alle relazioni tra rette e piani, o alla disposizione di due piani.

Per esempio, se si avesse una retta in forma parametrica e una in forma cartesiana, come si dovrebbe procedere? (Per le prime volte conviene fare una bozza di come sono posizionati gli elementi, in questo caso le due rette con i rispettivi vettori direzionali: uno parallelo e l'altro normale; così da visionare meglio la questione e capire quale calcolo fare).