Geometria complessa: curve algebriche proiettive
Salve a tutti, avrei una domanda alla quale spero ci sia una risposta positiva...
La proprietà per una curva algebrica complessa di essere intersezione di particolari ipersuperfici, o al massimo contenuta in questa intersezione, è indipendente dall'immersione usata?
Provo a renderla più chiara facendo un esempio. Dovrei dimostrare che una curva piana non singolare non iperellittica di genere 6 è contenuta nell'intersezione di quadriche in $P^5(CC)$ ma questa non è un'intersezione completa.
Grazie all'immersione del piano proiettivo in $P^5(CC)$ attraverso la mappa di Veronese, ho che questa, composta con l'inclusione $I:X->P^2(CC)$, è un'immersione. La curva è contenuta nella superficie di Veronese e quest'ultima è esattamente l'intersezione di tutte le quadriche che contengono la curva.
Posso dire la stessa cosa per $phi_K(X)$ che è l'immersione di $X$ in $P ^(g-1) (CC)$ definita dal divisore canonico $K$?
La proprietà per una curva algebrica complessa di essere intersezione di particolari ipersuperfici, o al massimo contenuta in questa intersezione, è indipendente dall'immersione usata?
Provo a renderla più chiara facendo un esempio. Dovrei dimostrare che una curva piana non singolare non iperellittica di genere 6 è contenuta nell'intersezione di quadriche in $P^5(CC)$ ma questa non è un'intersezione completa.
Grazie all'immersione del piano proiettivo in $P^5(CC)$ attraverso la mappa di Veronese, ho che questa, composta con l'inclusione $I:X->P^2(CC)$, è un'immersione. La curva è contenuta nella superficie di Veronese e quest'ultima è esattamente l'intersezione di tutte le quadriche che contengono la curva.
Posso dire la stessa cosa per $phi_K(X)$ che è l'immersione di $X$ in $P ^(g-1) (CC)$ definita dal divisore canonico $K$?
Risposte
Non c'è nessuno che può aiutarmi?
Ti rispondo così: se tu traduci la predetta proprietà geometrica in una proprietà algebrica, la risposta dovrebbe essere sì!
C'è qualche risultato di geometria algebrica relativo al problema? Potresti darmi un riferimento?
Ti do un input iniziale: sia \(\displaystyle X\) la curva (algebrica piana) complessa in questione, sia \(\displaystyle I_h(X)=I\) il suo ideale omogeneo associato; per semplicità assumiamo che \(\displaystyle X\) sia irriducibile sicché \(\displaystyle I\) è un ideale omogeneo primo di \(\displaystyle\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]_h\) (l'anello dei polinomi complessi in tre indeterminate, con la sua graduazione "usuale").
Essendo \(\displaystyle\dim_{Krull}X=1\) allora \(\displaystyle\text{coht}I=1\) (la coaltezza di \(\displaystyle I\) come ideale primo omogeneo). Sia \(\displaystyle i:X\to\mathbb{P}^n(\mathbb{C})\) una immersione regolare (nel senso della geometria algebrica) di \(\displaystyle X\) in un spazio proiettivo complesso; passando al pull-back \(\displaystyle i^{*}:\mathbb{C}[x_0,\dots,x_n]_h\to\mathbb{C}[X]_h=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]_{h\displaystyle/I}\), per la proprietà universale di \(\displaystyle\mathbb{C}[X]_h\) come anello quoziente omogeneo di \(\displaystyle\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]_h\), esiste un'unica fattorizzazione di \(\displaystyle i^{*}\) attraverso \(\displaystyle\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]_h\); ovvero \(\displaystyle i\) si spezza nell'immersione regolare di \(\displaystyle X\) in \(\displaystyle\mathbb{P}^2(\mathbb{C})\) e di un'immersione regolare di quest'ultimo in \(\displaystyle\mathbb{P}^n(\mathbb{C})\).
Per tua ipotesi, sia \(\displaystyle i(X)\subseteq H_1\cap\dots\cap H_k\), ove le \(\displaystyle H_j\) siano ipersuperfici irridicubili (senza ledere la generalità di dimostrazione); come traduci questa affermazione come relazioni tra ideali (primi omogenei) di \(\displaystyle\mathbb{C}[x_0,\dots,x_n]_h\)?
Essendo \(\displaystyle\dim_{Krull}X=1\) allora \(\displaystyle\text{coht}I=1\) (la coaltezza di \(\displaystyle I\) come ideale primo omogeneo). Sia \(\displaystyle i:X\to\mathbb{P}^n(\mathbb{C})\) una immersione regolare (nel senso della geometria algebrica) di \(\displaystyle X\) in un spazio proiettivo complesso; passando al pull-back \(\displaystyle i^{*}:\mathbb{C}[x_0,\dots,x_n]_h\to\mathbb{C}[X]_h=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]_{h\displaystyle/I}\), per la proprietà universale di \(\displaystyle\mathbb{C}[X]_h\) come anello quoziente omogeneo di \(\displaystyle\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]_h\), esiste un'unica fattorizzazione di \(\displaystyle i^{*}\) attraverso \(\displaystyle\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]_h\); ovvero \(\displaystyle i\) si spezza nell'immersione regolare di \(\displaystyle X\) in \(\displaystyle\mathbb{P}^2(\mathbb{C})\) e di un'immersione regolare di quest'ultimo in \(\displaystyle\mathbb{P}^n(\mathbb{C})\).
Per tua ipotesi, sia \(\displaystyle i(X)\subseteq H_1\cap\dots\cap H_k\), ove le \(\displaystyle H_j\) siano ipersuperfici irridicubili (senza ledere la generalità di dimostrazione); come traduci questa affermazione come relazioni tra ideali (primi omogenei) di \(\displaystyle\mathbb{C}[x_0,\dots,x_n]_h\)?
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