Geometria: come normalizzo i vettori?

[korat1]

Ciao a tutti, avrei un problemino con geometria...in un esercizio sui vettori mi viene chiesto di rendere ortonormali delle basi ortogonali normalizzando i loro vettori

...So che una base si dice ortogonale se i suoi vettori sono a due a due ortogonali tra loro
....in più: se i suoi vettori hanno tutti norma 1 allora la base si dice ortonormale

purtroppo non ho proprio capito il concetto di "normalizzare"...se non ho capito male il mio prof mi ha detto che devo dividere ciascun vettore per la sua norma...in che senso? potreste farmi un esempio, per favore?

Ecco una parte dell'esercizio:
Ho la base B=[v1=(1,1,1); v2=(1,0,-1), v3=(1, -2, 1) ]
ed ho gia verificato che è ortogonale...come faccio a normalizzarne i vettori?

ringrazio in anticipo

[pic2]

Come in che senso? Se è posta una norma essa è uno scalare, e la moltiplicazione per scalare è ben definita negli spazi vettoriali. Ora, io non so quale norma tu stia usando. Se usi quella euclidea, $|v_1|^2= 3$, $|v_2|^2= 2, |v_3|^2=6$.

[Camillo]

Normalizzare un vettore vuol dire trasformarlo in un nuovo vettore che abbia stessa direzione e verso di quello iniziale, ma con norma ( = lunghezza) unitaria.
In simboli , partendo dal generico vettore $vec v $ lo trasformi ottenendo un nuovo vettore $vec v' =(vec v)/|vec v | $; quindi ogni componente del vettore iniziale è stato diviso per il modulo o norma del vettore stesso .
E' chiaro che adesso $vec v'$ ha norma pari a $1$.

[*nicolaottantasei]

allora prima di tutto devi ortogonalizzare i vettori e per farlo devi usare il processo di ortogonalizzazione di Gramschmidt perchè devi fare in modo che i vettori siano ortogonali, cioè devi fare in modo che per ogni i,j=1,2,3 =0 dove con <.,.> indico il prodotto scalare standard.
Nel tuo caso sei fortunato perchè tutti e tre i vettori sono già ortogonali tra di loro, perciò non c'è bisogno di ortogonalizzarli.
Quindi basta che dividi ogni vettore per la sua norma e in questo caso ottieni una base ortonormale di R^3

[korat1]

Grazie per le vostre risposte
Allora faccio una prova per vedere se ho capito, correggetemi se sbaglio...

Dunque...per fare la norma di un vettore devo addizionare i suoi termini elevati al quadrato posti sotto radice
Per normalizzare divido il vettore per la sua norma...

u1=(1,1,1) 3/radice di 3
u2=(1,0,-1) 0
u3=(1,-2,1) 0

quindi ottengo la base normalizzata B'=(3/radice di 3, 0, 0)

C'è una cosa che continua a non essermi chiara: si dice che il vettore normalizzato è unitario...ma normalizzando u1 ottengo 3/radice di 3 che non mi pare una cosa unitaria

[korat1]

Scusate...ci stavo ripensando un attimo e mi sono accorta da sola che quello che ho appena scritto è una gran cavolata...
Nel senso che ad es: la norma di v1 è radice di 3 e quindi devo dividere ogni coordinata di v1 per questo valore...se poi faccio la norma di questo nuovo vettore viene 1...e quindi mi è chiaro anche l'aggettivo "unitario"

grazie ancora

[Camillo]

Adesso è ok : il post precedente invece no

Ad esempio se normalizzo $vec v_2 $ ottengo $vec v_2' =(1/sqrt(2), 0 ,-1/sqrt(2))$ che ha norma unitaria.