Geometria: basi e dimensioni

[Claudia881]

Come si fa a trovare la dimensione e una base del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare?

Ad esempio di

$ f_1: R^4->R^3
$f_1 (x, y, z, t) = (x-y, y+z, t)
$ B = (2, -1, 0, 0), (-1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 1)
$B' = (1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, -4, -3)


$ f: R^3[t]->R^2[t]
$f (a t^3 + b t^2 + c t + d)= (a+c) t^2 + (-2a + 3b + c) t + (a-b+4d)
$B= (1, t, t^2, t^3) B' = (1, t, t^2)

In questo caso $B $e $B' $ sono le basi dell'applicazione

[amel3]

Ma, scusa l'ignoranza, cos'è una base di un'applicazione?? Io ho sempre sentito parlare di basi di spazi vettoriali, ma non di applicazioni.

Comunque, in generale, si nota che:

Data un'applicazione lineare $f:V->W$ (con $V$ e $W$ $K$-spazi vettoriali):

1) $Ker(f)={v in V |f(v)=0 }$ è il nucleo dell'applicazione lineare $f$ ed è un sottospazio di $V$.
2) $Im(f)={w in W| EE v in V: w=f(v)}$ è l'immagine dell'applicazione lineare $f$ ed è un sottospazio di $W$.

Da 1 e 2 segue, quindi, che, se rispettivamente $V$ ha dimensione finita e $W$ ha dimensione finita, allora $Ker(f)$ ha dimensione finita e $Im(f)$ ha dimensione finita.

3) Se $V$ ha dimensione finita e ${e_1,...,e_n}$ è una base di $V$, allora $Im(f)$ è generato da: ${f(e_1),...,f(e_n)}$.

Notare che questo non significa che, se $dim(V)=n$, allora $dim(Im(f))=n$!!! Infatti, 3 ci dice unicamente che ${f(e_1),...,f(e_n)}$ è un insieme di generatori di $Im(f)$, ma non necessariamente linearmente indipendenti.

Dalla 3 si desume, invece, che, se $V$ ha dimensione finita, allora non solo il $Ker(f)$ ha dimensione finita, ma anche che $Im(f)$ ha dimensione finita, ove in particolare $dim(Im(f))<=dim(V)$

4) Se $V$ ha dimensione finita, allora:
$dim(Im(f))+dim(Ker(f))=dim(V)$.

Notare che la 4 ha senso, perchè, come detto, se $V$ ha dimensione finita, $Ker(f)$ e $Im(f)$ hanno dimensione finita.

Notare anche che la 3 e la 4 non richiedono che $W$ abbia dimensione finita.

Secondo me, detto questo, il metodo più rapido è quello che di trovare prima l'insieme dei generatori dell'immagine, come in 3, poi "scremarla" trovando una base dell'immagine. Fatto ciò, dalla 4 si ricava la dimensione del nucleo. A quel punto per trovare una base del nucleo secondo me si fa prima a occhio. Si cerca, cioè l'insieme dei generici vettori portati in zero e poi si cerca una base... ecc ecc...

Spero di non essere troppo lesso dall'esame che ho fatto oggi, per cui se ho sbagliato qualcosa o non sono stato chiaro, correggete pure please. Ciao

[Claudia881]

Il testo dell'esercizio è questo, numero 8...

http://cdm.unimo.it/home/matematica/cri ... geo1(soluz).pdf

Ma riesci a darmi un esempio di esercizio svolto?

Grazie...

[amel3]

Allora, vediamo un po' di capire meglio intanto cosa chiede il famigerato esercizio 8.

Sia dato un omomorfismo di spazi vettoriali (o applicazione lineare) $f:V->W$ a dimensione finita, ove $V$ e $W$ sono $K$-spazi vettoriali a dimensione finita.
Siano $B={v_1,...v_n}$ e $B'={w_1,..,w_n}$ rispettivamente una base di $V$ e di $W$.
L'esercizio chiede di:
- trovare la matrice associata a $f$ rispetto alle basi $B$ e $B'$, che spesso si denota con $M_(B' B) (f)$ (non so se anche voi l'avete chiamata così);
- trovare la dimensione ed una base sia per $Ker(f)$ che per $Im(f)$.

Prima di tutto ricordiamo che, se $dim(V)=n$ e $dim(W)=m$, allora si definisce la matrice $M_(B' B) (f)$ come la matrice $m x n$ a coefficienti in $K$:
$M_(B' B) (f)=((a_(11),...,a_(1n)),(vdots,ddots,vdots),(a_(m1),...,a_(mn)))$, dove:
$f(v_1)=a_(11)w_1+...+a_(m1)w_m$, $f(v_2)=a_(12)w_1+...+a_(m2)w_m$, ... ,$f(v_n)=a_(1n)w_1+...+a_(mn)w_m$

(cioè, in pratica, ogni colonna j-esima della matrice mostra ordinatamente come si scrive $f(v_j)$ come combinazione lineare della base $B'$)

Notare che, se prendiamo $v in V$ e $w in W$ e li scriviamo come combinazioni lineari delle basi $B$ e $B'$, cioè:
$v=x_1v_1+...+x_nv_n$
$w=y_1w_1+...+y_mw_m$,
allora
$((y_1),(vdots),(y_m)) = M_(B' B) (f) ((x_1),(vdots),(x_n)) $

A questo punto ho detto tutto quanto è necessario, arrangiati.





Scherzo, ovviamente!

Farò l'esercizio 8 a come esempio domani.

[nirvana2]

Sono entrato nel sito che hai linkato, mettilo giusto perché non funziona, bisogna entrare nella homepage di un prof...

Faccio l'8a):

i) Trova la matrice associata rispetto alla base nuova:
Sai che la matrice associata rispetto alla base canonica è:
1 -1 0 0
0 1 1 0
0 0 0 1

Chiama quest'ultima A.

Ora trasponi i vettori della nuova base B in colonne e mettili in una matrice: chiamala per comodità B.

Ora trasponi i vettori della nuova base dello spazio di arrivo B' in colonne e mettili in una matrice: chiamala C
Ora fai l'inversa di quest'ultima, cioè fai (e chiama quest'ultima) C^-1

La matrice associata rispetto alla nuova base è: M=C^-1*A*B (fai tu i calcoli, io non li ho fatti).

ii) Nucleo dell'applicazione lineare: M.x=0, risolvi il sistema omogeneo, parametrizza la soluzione così i vettori che trovi sono una base del nucleo.
iii) Per l'immagine: trova il rango di M, utilizza l'algoritmo di Gauss, e trova i vettori linearmente indipendenti che formano la base (in pratica risolvi il sistema)

Tutto chiaro?