Geometria: Base dell'ortogonale
Salve a tutti.
Ho un dubbio sulla determinazione di una base per l'ortogonale di v, dove $ v = (2,1,0,1,-1) $.
Siamo in $ R^5 $. L'esercizio richiedeva anche la dimensione.
Innanzitutto io ho pensato di individuare il sottospazio ortogonale che è dato da $ 2x1 + x2 + x4 -x5 = 0 $.
Dunque la dimensione si trova facendo: 5-1=4.
Pertanto devo trovare altri tre vettori per completare v a base. Ora pensavo di prendere i vettori della base canonica: e1, e2, e4, e5. Ho escluso e3 in quanto $v$ ha uno 0 in terza posizione, mi confermate che è stata una decisione saggia?
Comunque detto ciò affinchè siano ortogonali fra loro, ho proseguito con l'ortonormalizzazione.
Ma è proprio questo il punto... sto facendo un'ortonormalizzazione per un'ortogonale. E quindi mi chiedo se sto usando la strategia giusta.
Penso anche di trovare un versore ortogonale a $ v $, imposto il sistema in modo tale che sia composto da $ v $ e da $ a^2 + b^2 + d^2 + e^2 = 1 $. Non ho eseguito i calcoli ma dovrebbero venire almeno due risultati.
Cosa ne pensate? Non sono sicura di dover trascurare in questo secondo procedimento $ c^2 $ ma probabilmente sì dato che sto considerando un versore di v che ha x3=0.
Grazie in anticipo.
Ho un dubbio sulla determinazione di una base per l'ortogonale di v, dove $ v = (2,1,0,1,-1) $.
Siamo in $ R^5 $. L'esercizio richiedeva anche la dimensione.
Innanzitutto io ho pensato di individuare il sottospazio ortogonale che è dato da $ 2x1 + x2 + x4 -x5 = 0 $.
Dunque la dimensione si trova facendo: 5-1=4.
Pertanto devo trovare altri tre vettori per completare v a base. Ora pensavo di prendere i vettori della base canonica: e1, e2, e4, e5. Ho escluso e3 in quanto $v$ ha uno 0 in terza posizione, mi confermate che è stata una decisione saggia?
Comunque detto ciò affinchè siano ortogonali fra loro, ho proseguito con l'ortonormalizzazione.
Ma è proprio questo il punto... sto facendo un'ortonormalizzazione per un'ortogonale. E quindi mi chiedo se sto usando la strategia giusta.
Penso anche di trovare un versore ortogonale a $ v $, imposto il sistema in modo tale che sia composto da $ v $ e da $ a^2 + b^2 + d^2 + e^2 = 1 $. Non ho eseguito i calcoli ma dovrebbero venire almeno due risultati.
Cosa ne pensate? Non sono sicura di dover trascurare in questo secondo procedimento $ c^2 $ ma probabilmente sì dato che sto considerando un versore di v che ha x3=0.
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao, come te ho dei dubbi sui complementi ortogonali e infatti ho postato anche io una domanda quindi ti conviene aspettare che risponda qualcun'altro.
Comunque per calcolare una base dell'ortogonale che ha dimensione 4 io farei così:
Prendi il vettore colonna (x,y,z,t,k) e lo moltiplichi per il vettore v.
Quindi hai 2x+y+t-k=0 quindi poichè hai 4 incognite, chiami x=a ; y=b ; t=d e poni k = 2a+b+d
Come vedi ho tralasciato z ( qui sta il mio dubbio ) perchè non sono sicuro se z=0 o z=c cioè deve essere espresso tramite un parametro libero di variare in R. Supponendo che la risposta sia la seconda, il generico vettore di $ V_|_ $ sarà
v = ( a,b,c,d,2a+b+d)
a(1,0,0,0,2),b(0,1,0,0,1),c(0,0,1,0,0),d (0,0,0,1,1)
e quindi la base di $ V_|_ $ è : $ B_(V_|_) $ $ {(1,0,0,0,2),(0,1,0,0,1),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,1)} $
Poi se ti serve una base ortonormale potresti sempre partire da questa e usare gram schmidt
Comunque per calcolare una base dell'ortogonale che ha dimensione 4 io farei così:
Prendi il vettore colonna (x,y,z,t,k) e lo moltiplichi per il vettore v.
Quindi hai 2x+y+t-k=0 quindi poichè hai 4 incognite, chiami x=a ; y=b ; t=d e poni k = 2a+b+d
Come vedi ho tralasciato z ( qui sta il mio dubbio ) perchè non sono sicuro se z=0 o z=c cioè deve essere espresso tramite un parametro libero di variare in R. Supponendo che la risposta sia la seconda, il generico vettore di $ V_|_ $ sarà
v = ( a,b,c,d,2a+b+d)
a(1,0,0,0,2),b(0,1,0,0,1),c(0,0,1,0,0),d (0,0,0,1,1)
e quindi la base di $ V_|_ $ è : $ B_(V_|_) $ $ {(1,0,0,0,2),(0,1,0,0,1),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,1)} $
Poi se ti serve una base ortonormale potresti sempre partire da questa e usare gram schmidt
Sì, grazie per avermi risposto. Considera che ho risolto in questo modo...
In pratica ho impostato il sistema con il mio vettore v e ho considerato x2 come h, x3 come l, x4 come m, x5 come n. Trovato poi il nuovo valore di x1 in questo modo, procedo con la determinazione dei vettori che sono: $ (-1/2 , 1, 0, 0, 0) $, $ (0,0,1,0,0) $, $ (-1/2, 0, 0, 1, 0) $, $ (1/2, 0, 0,0, 1) $ che credo si possano rendere interi moltiplicando per 2. Nel dubbio ho lasciato i numeri in frazione. Ho considerato x3 anche se il valore del coefficiente è 0 perchè è comunque importante al fine dell'esistenza del vettore in $ R^5 $ e individua il vettore $ (0,0,1,0,0) $.
Dopo ciò procedo con Gram-Schimdt e trovo i 4 vettori ortogonali che fanno da base, senza completare con l'ortonormalizzazione. Infatti non aveva senso trovare una base ortogonale con il processo di ortonormalizzazione, stavo facendo un'altra cosa.
Aspetto conferme
In pratica ho impostato il sistema con il mio vettore v e ho considerato x2 come h, x3 come l, x4 come m, x5 come n. Trovato poi il nuovo valore di x1 in questo modo, procedo con la determinazione dei vettori che sono: $ (-1/2 , 1, 0, 0, 0) $, $ (0,0,1,0,0) $, $ (-1/2, 0, 0, 1, 0) $, $ (1/2, 0, 0,0, 1) $ che credo si possano rendere interi moltiplicando per 2. Nel dubbio ho lasciato i numeri in frazione. Ho considerato x3 anche se il valore del coefficiente è 0 perchè è comunque importante al fine dell'esistenza del vettore in $ R^5 $ e individua il vettore $ (0,0,1,0,0) $.
Dopo ciò procedo con Gram-Schimdt e trovo i 4 vettori ortogonali che fanno da base, senza completare con l'ortonormalizzazione. Infatti non aveva senso trovare una base ortogonale con il processo di ortonormalizzazione, stavo facendo un'altra cosa.
Aspetto conferme
up
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo