Geometria analitica ...punti retta e piano...

[cads24]

ciao a tutti...io ho un esercizio da proporvi....
Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale $R(o,i,j,k)$, si considerino i punti $A(-1,0,1)$ $B(1,1,1)$ e $C(6,0,0)$...
SCRIVERE I VETTORI $OA$ e $OB$ nella base standard $(i,j,k)$ :
a)Scrivere l' equazione cartesiana del piano& contenente $A$,$B$ ed $o$.
b)Determinare le coordinate del punto $H$, proiezione ortogonale di $C$ su il piano&..
c)Scrivere la decomposizione del vettore $OH$ nella base $(OA,OB)$ del piano &....


Per quanto riguarda il punto a è giusto porre $ax+ by+cz=$0 dato che $d=0$ perchè contiene l origine e poi proseguire con gli altri punti????
per quanto riguarda il punto b e LA decomposizione non ne ho idea ..se qualcuno mi potesse dare qualche suggerimento.....
GRAZIE!!!

[cirasa]

Punto a): mi sembra giusto.
Punto b): prendi la retta perpendicolare al piano e passante per $C$. Per trovare $H$ interseca la retta trovata con il piano.
Punto c): Hai $H$, puoi trovare $OH$. Hai già trovato precedentemente $OA$ e $OB$. Devi trovare $x,y$ tali che $OH=xOA+yOB$. Basta uguagliare componente per componente (rispetto a $i,j,k$).

[cads24]

ok...ho capito grazie 1000...un ultima cosa...per quanto riguarda il punto a) ,,,una volta che pongo=0 l'equazione $ax +by+cz$ del piano ....mi puoi spiegare qual è la condizione che devo imporre affinchè contenga i punti $A$ e $B$ ????
grazie xkè ho provato ma non è giusto...!!!

[cirasa]

Imponi l'appartenenza di $A$ al piano, ovvero che le coordinate di $A$ verificano l'equazione $ax+by+cz=0$. Lo stesso per $B$.
Otterrai due equazioni da cui potrai ricavarti due fra $a,b,c$ in funzione della terza incognita. Sostituisci nell'equazione del piano e poi semplifica. Se ci sono problemi, posta ciò che hai fatto.

[cads24]

Ok...ho fatto il sistema tra $-x+z=0$ e $x+y+z=0$ e mi trovo che $x=z$ e$y=-2z$ e adesso le sostituisco in che modo all equazione????

[cads24]

Ok...ho fatto il sistema tra $-x+z=0$ e $x+y+z=0$ e mi trovo che $x=z$ e$y=-2z$ e adesso le sostituisco in che modo all equazione????

[cirasa]

Hai il piano
$ax+by+cz+d=0$ (i)
Imponiamo il passaggio per $O(0,0,0)$. Se il piano passa per $O$ significa che le coordinate di $O$ verificano l'equazione (i), cioè
$a\cdot 0+ b\cdot 0+c\cdot 0+d=0$
ovvero
$d=0$
Quindi il piano è
$ax+by+cz=0$ (ii)
Imponiamo il passaggio per $A(-1,0,1)$. Se il piano passa per $A$ significa che le coordinate di $A$ verificano l'equazione (ii), cioè
$a\cdot(-1)+b\cdot 0+c\cdot 1=0$
ovvero
$-a+c=0$
$c=a$
Quindi il piano è
$ax+by+az=0$ (iii)
Imponiamo il passaggio per $B(1,1,1)$. Se il piano passa per $B$ significa che le coordinate di $B$ verificano l'equazione (iii), cioè
$a\cdot 1+b\cdot a+a\cdot 1=0$
ovvero
$2a+b=0$
$b=-2a$
Quindi il piano è
$ax-2ay+az=0$
da cui, semplificando $a$, si ottiene il piano di equazione $x-2y+z=0$.

Secondo me, dovresti studiare meglio la teoria...

[cads24]

hai ragione...scusami ma ieri sera (oddio e ancora ora) ero un po in confusione....ma poi mi sono accordo che avevo scritto una stupidata e non potevo fartelo sapere xkè non mi andava la connessione...scusami ancora se ti ho fatto tribulare!!!!!!!!GRAZIE!!!