Geometria Analitica: Luogo geometrico descritto da un punto al variare di un altro punto appartenente ad una retta.
Buongiorno a tutti!
Ho un problema con un esercizio di geometria analitica, il cui testo è:
"Si consideri la circonferenza $ K $ : $ x^2+y^2-1=0 $ e la retta $ r:x=2 $ . Sia $ H $ un punto di $ r $, $ h $ la polare di
$ H $ rispetto a $ K $, $ P $ la proiezione ortogonale di $ O=(0,0) $ su $ h $ .
Determinare il luogo geometrico descritto da $ P $ al variare di $ H $ sulla retta $ r $ ."
Ho posto $ H=(2,beta ) $ come punto generico della retta $ r $ , ho calcolato la sua polare rispetto alla circonferenza $ K $ e mi è uscita un'equazione del tipo $ h= $ $ 2x+beta y-1=0 $. Poi ho calcolato la retta passante per O e ortogonale a $ h $ che mi esce $ s=-2y+beta x $ e l'ho messa in sistema con $ h $ per ottenere le coordinate del punto $ P $ :
$ P= $ $ { ( 2x+betay-1=0 ),( beta x-2y=0 ):} $
Adesso però sono bloccata, non so come risolvere questo sistema e come trovare il luogo geometrico richiesto!
Sapreste aiutarmi?
Grazie.
Ho un problema con un esercizio di geometria analitica, il cui testo è:
"Si consideri la circonferenza $ K $ : $ x^2+y^2-1=0 $ e la retta $ r:x=2 $ . Sia $ H $ un punto di $ r $, $ h $ la polare di
$ H $ rispetto a $ K $, $ P $ la proiezione ortogonale di $ O=(0,0) $ su $ h $ .
Determinare il luogo geometrico descritto da $ P $ al variare di $ H $ sulla retta $ r $ ."
Ho posto $ H=(2,beta ) $ come punto generico della retta $ r $ , ho calcolato la sua polare rispetto alla circonferenza $ K $ e mi è uscita un'equazione del tipo $ h= $ $ 2x+beta y-1=0 $. Poi ho calcolato la retta passante per O e ortogonale a $ h $ che mi esce $ s=-2y+beta x $ e l'ho messa in sistema con $ h $ per ottenere le coordinate del punto $ P $ :
$ P= $ $ { ( 2x+betay-1=0 ),( beta x-2y=0 ):} $
Adesso però sono bloccata, non so come risolvere questo sistema e come trovare il luogo geometrico richiesto!
Sapreste aiutarmi?
Grazie.
Risposte
E' sufficiente eliminare $beta$ dal sistema che hai scritto.
Dalla seconda equazione di detto sistema hai: $beta=(2y)/x$ che sostituito nella prima equazione porta a :
$2x+y*(2y)/x-1=0$
Da qui si ottiene :
$x^2+y^2-1/2x=0$
che è l'equazione del luogo.
Si tratta di una circonferenza di centro $C(1/4,0)$ e di raggio $r=1/4$
N.B. Ho controllato il risultato con GEOGEBRA e risulta.
Dalla seconda equazione di detto sistema hai: $beta=(2y)/x$ che sostituito nella prima equazione porta a :
$2x+y*(2y)/x-1=0$
Da qui si ottiene :
$x^2+y^2-1/2x=0$
che è l'equazione del luogo.
Si tratta di una circonferenza di centro $C(1/4,0)$ e di raggio $r=1/4$
N.B. Ho controllato il risultato con GEOGEBRA e risulta.
"sandroroma":
E' sufficiente eliminare $beta$ dal sistema che hai scritto.
Dalla seconda equazione di detto sistema hai: $beta=(2y)/x$ che sostituito nella prima equazione porta a :
$2x+y*(2y)/x-1=0$
Da qui si ottiene :
$x^2+y^2-1/2x=0$
che è l'equazione del luogo.
Si tratta di una circonferenza di centro $C(1/4,0)$ e di raggio $r=1/4$
N.B. Ho controllato il risultato con GEOGEBRA e risulta.
Ah okay, era più semplice di quello che pensassi! GRAZIE MILLE!
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