Geometria Analitica: Equazione Parabola

[Falice94]

Salve a tutti!
Sono nuova qui e volevo chiedervi un aiutino su un esercizio di geometria analitica che non ho ben capito.
Allora l'esercizio mi chiede
Scrivere l'equazione della parabola con asse di simmetria x=2y e tangente nel punto (1,0) all'asse x(y=0).
Allora io ho notato che l'asse non è parallelo all'asse x o y.. quindi ho pensato di effettuare una rotazione.
Ciò che ottengo però è un arctg2? Forse sbaglio qualcosa.. Ma mi sono davvero bloccata con questo esercizio.
Grazie in anticipo

[Sk_Anonymous]

A mio parere Il metodo della rotazione ( ammesso che sia fattibile ) non fa altro che spostare le difficoltà ma non le elimina. Direi che per questo problema il metodo del fascio è il più idoneo. Osservo che la teoria ci suggerisce che la retta impropria del piano della parabola ( di equazione t=0, in coordinate proiettive (x,y,t)) è tangente alla parabola nel punto improprio dell'asse della parabola che, sempre in coordinate proiettive ( x,y,t), è $S_{\infty}(2,1,0)$.
Abbiamo quindi i quattro punti necessari per formare il fascio che ci interessa. Essi sono:
Il punto dato $T(1,0,1)$ contato due volte, con tangente la retta $y=0$
Il punto $S_{\infty}(2,1,0)$ contato due volta con tangente la retta $t=0$
Formalmente dunque il fascio si scrive così :
$lambda(T T)(S_{\infty}S_{\infty})+mu(S_{\infty}T)(S_{\infty}T)=0$
Con qualche calcolo la precedente equazione diventa :
$lambda(yt)+mu(x-2y-t)^2=0$
Ora serve una relazione tra i parametri $lambda,mu$ in modo da eliminarli da detta equazione. Questo si può fare in due modi:

a) facendo passare la generica conica del fascio per il punto T', simmetrico di T rispetto all'asse dato. Se fai i calcoli ( che naturalmente lascio a te) trovi che tale punto è $T'(3,4,5)$ che poi va sostituito nell'equazione del fascio.

b) imponendo che la retta $x-2y=0$ sia l'asse della parabola. Se vuoi operare così, tieni presente che l'asse di una parabola è la polare della direzione perpendicolare a quella dell'asse, ovvero è la polare del punto ( improprio ) $V_{\infty}(1,-2,0)$

In ogni caso troverai che deve essere $\lambda=-5\mu$ e quindi in conclusione l'equazione della parabola richiesta è :
$(x-2y-t)^2-5yt=0$

[Falice94]

Grazie mille ciromario!!:D
Ma c'è un modo più semplice di risolvere ciò? In quanto pensavo a fare un sistema in cui mi trovavo "a,b,c".
Questo esercizio inoltre era in un esame e non so se sarei riuscita a fare tutto quello che hai scritto tu, anche perché non avevo pensato minimamente a 3 coordinate... Nn so se mi sono spiegata

[Quinzio]

Propongo questa soluzione alternativa, che pur essendo più macchinosa di quella canonica (ed eccellente) di ciromario, ha forse il pregio di poter essere "costruita" al momento, utilizzando le matrici di rotazione.
In effetti questo esercizio anche io su due piedi lo farei facendo la rotazione prima e una traslazione poi.
Fattibile è fattibile. Proviamo.

Dato un riferimento $xy$, costruisco un secondo riferimento $XY$ ruotato di un angolo $\theta$.

La matrice di rotazione diventa:

$((X),(Y))=((cos\theta, -sin\theta),(sin\theta, cos\theta))((x),(y))$

da cui ricavo che

$X=xcos\theta-ysin\theta$

$Y=xsin\theta+ycos\theta$

Il mio interesse è quindi ruotare il riferimento $XY$ di un angolo $arctan(1/2)$ in modo che l'asse $X$ venga a coincidere con la retta $x=2y$, asse della parabola.

Le equazioni diventano

$X=x2/sqrt5-y1/sqrt5$

$Y=x1/\sqrt5+y2/\sqrt5$


Quindi cerco nel riferimento $XY$ una parabola con asse di simmetria l'asse $X$ concavità rivolta in alto.
La retta tangente ha equazione $X=-2Y$. Facendo un disegno queste relazioni sono molto più evidenti che non tramite le equazioni.
La tangenza la cerco nel punto $(0,0)$ avendo cura di traslare il tutto alla fine.

Quindi la generica parabola ha equazione $X=aY^2+bY+c$

$c=0$ siccome impongo il passaggio per l'origine.

Derivo rispetto a $Y$ per imporre la tangenza... $X'=-2=2aY+b$.... nel punto $(0,0)$ mi rimane che $b=-2$

Ho quindi la parabola $X=aY^2-2Y$

Faccio la rotazione riportandomi nel riferimento di partenza $xy$

$(x2/sqrt5-y1/sqrt5)=a(x1/\sqrt5+y2/\sqrt5)^2-2(x1/\sqrt5+y2/\sqrt5)$

semplificando

$\sqrt5(2x-y)=a(x+2y)^2-2\sqrt5(x+2y)$

$\sqrt5(2x-y)=ax^2+4axy+4ay^2-2\sqrt5(x+2y)$

$ax^2+4axy+4ay^2-4\sqrt5x-3\sqrt5y=0$

Rimane ancora da fare la traslazione nel punto $(1,0)$ per cui nell'equazione al posto di $x$ ascrivo $x-1$

$a(x-1)^2+4a(x-1)y+4ay^2-4\sqrt5(x-1)-3\sqrt5y=0$

Volendo si possono svolgere le parentesi e riportarsi nella forma canonica di una quadrica, ma questa espressione ha il pregio di evidenziare la traslazione in $(1,0)$ e potrebbe essere la forma finale.

[Falice94]

Grazie mille ad entrambi:) gentilissimi!
Io pure avrei fatto come te,Quinzio, solo che avevo messo 2(?!?) al posto di 1/2 chissà perché poi:/

[Quinzio]

PS: la matrice di rotazione va trasposta.... così com'è l'asse della parabola viene $x=-2y$ errore mio.