Geometria analitica dello spazio

[mirco000123]

salve mi servirebbe una mano con questo esercizio

Fissato nello spazio ordinario un sistema di riferimento
cartesiano, si consideri il piano $α : x + y + z − 2 = 0$ e la curva:

${ x = cos^2t$
${y = sin2t + sin^2t $
${z = (cost − sin t)^2$

con $t∈ (−π, π)$

(a)Stabilire se $C ⊂ α$
(b) Determinare la retta tangente r alla curva nel punto $P(1, 0, 1)$.
(c) Stabilire la mutua posizione tra α ed r.

Ps:la curva è scritta in forma paramentrica, non sono riuscito a fare la parentesi intera. Grazie mille per l aiuto

[sandroroma]

Secondo me hai sbagliato a scrivere la seconda equazione della curva. Dovrebbe essere:
$y=\sin^2t+\sin2t$
In tal caso la risposta alla (a) è affermativa: la curva appartiene al piano $\alpha$
Per la (b) e la (c) occorre sapere se la correzione è giusta.

[mirco000123]

sisi avevi ragione, potresti spiegarmi con i passaggi per favore? anche il primo punto.grazie mille per il tuo tempo

[sandroroma]

E' sufficiente sotituire le equazioni della curva nell'equazione del piano. Se in tal modo si verifica che
l'equazione del piano è identicamente soddisfatta allora la curva appartiene al piano.
Ora sostituendo si ha:
$\cos^2t+\sin2t+\sin^2t+(\cost-\sint)^2-2=\cos^2t+2\sint\cost+\sin^2t+\cos^2t+\sin^2t-2\sint\cost-2=2-2=0$
Pertanto l'equazione di $\alpha$ è identicamente soddisfatta e dunque $\alpha$ contiene la curva.

[mirco000123]

grazie mille sei stato chiarissimo,appena puoi vorrei vedere gli altri punti. So i procedimenti ma mi è difficile operare con i seni e coseni

[sandroroma]

(b)
Per prima cosa si deve osservare che il punto P si ottiene dalle equazioni della curva ponendo
in esse $t_o=0$
In secondo luogo dobbiamo ricordare che le richieste equazioni della tangente sono:
(A) $\frac{x-x_o}{x'(t_o)}=\frac{y-y_o}{y'(t_o)}=\frac{z-z_o}{z'(t_o)}$
dove $x',y',z'$ sono le derivate ( rispetto a t) delle componenti della curva calcolate in $t_o=0$
Nel nostro caso è:
$x_o=1,y_o=0.z_o=1$
Le derivate per t generico sono:
$x'=-2\cost\sint,y'=2\cos2t+2\sint\cost,z'=2(\cost-\sint)(-\sint-\cost)$
Calcolando queste derivate in $t_o=0$ risulta:
$x'(0)=0,y'(0)=2,z'(0)=-2$
Con questi dati applicando la formula (A) anzidetta , si ha:
$\frac{x-1}{0}=\frac{y-0}{2}=\frac{z-1}{-2}$
Riducendo a forma intera si conclude che la nostra tangente ha equazioni:
\begin{equation}
\begin{cases}
x=1\\y+z=1
\end{cases}
\end{equation}
Per il caso (c) non dovresti avere difficoltà: si tratta di un procedimento standard.
N.B. Ti devo avvertire che nel risolvere l'esercizio ho adoperato procedimenti
classici ma la cosa si può trattare anche con i vettori.